初中数学竞赛专题选讲-一元一次方程解的讨论

初中数学竞赛专题选讲一元一次方程解的讨论一、内容提要1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x＋6＝0，x（x-1）=0,|x|=6,0x=0,0x=2的解分别是：x=－3,x=0或x=1,x=±6,所有的数，无解。2，关于x的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解x=ab；当a=0且b≠0时，无解；当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）3,求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解当a｜b时，方程有整数解；当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；当a、b同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b二、例题例1a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2)①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a≠0且a≠2时，方程有唯一的解，x=a4②当a=0时，原方程就是0x=－8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a与4同号，即当a0且a≠2时，方程的解是正数。例2k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。②化为最简方程kx=k－6，当k≠0时x=kk6=1－k6，只要k能整除6,即k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数当k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？解：原方程化为最简方程：(a－b)x=b∵方程无解，∴a－b=0且b≠0∴a和b应满足的关系是a=b≠0。例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，根据0x＝0时，方程有无数多解，可知当07320823baba时，原方程有无数多解。解这个方程组得12ba答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。三、练习1,根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0,②x2=9,③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x+1=3x－1,⑥x+2=2+x2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________3,在方程a(a－3)x=a中，当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；当a＿＿＿时无解；当a＿＿＿＿＿时,有无数多解；当a＿＿＿＿时,解是负数。4，k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？①x=k4②x=16k③x=kk32④x=123kk5，k取什么值时，方程x－k=6x的解是①正数？②是非负数？6，m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正数？7，己知方程221463ax的根是正数，那么a、b应满足什么关系？8，m取什么整数值时，方程mmx321)13(的解是整数?9，己知方程axxb231)1(2有无数多解，求a、b的值。练习题参考答案1.①－1②±3③±9④无解⑤无解⑥无数多个解2.a=13.a≠3,a≠0；a=3；a=0；a3且a≠04.①k=±1,±2,±4②2，0，3，－1，4，－2，7，－5③±1，±3④4，－5，0－2（153123kkk）5.①k0②k≤06.①m=－1②m＜－17.2a+b08.化为最简方程mx=m+3,当m=±1,±3时，有整数解9.化为最简方程(3a－b)x=b+2当0203bba时方程无解，解得232ba[文章来源：教师之家转载请保留出处][相关优质课视频请访问：教学视频网]