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2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知命题p：∃n∈N，n+＜4，则¬p为（）A．∃n∈N，n+＜4B．∀n∈N，n+＞4C．∃n∈N，n+≤4D．∀n∈N，n+≥42．函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的定义域为（）A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（0，+∞）D．（1，2）3．双曲线4y2﹣25x2=100的焦点坐标是（）A．（﹣5，0），（5，0）B．（0，﹣5），（0，5）C．，D．，4．△ABC，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知条件p：=，条件q：a=b，则p是q成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件5．如图所示的算法流程图中，若f（x）=sinx，g（x）=tanx，的值等（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣6．如图所示，椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别是e1、e2与e3、e4，e1、e2、e3、e4的大小关系是（）A．e2＜e1＜e3＜e4B．e2＜e1＜e4＜e3C．e1＜e2＜e3＜e4D．e1＜e2＜e4＜e37．椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个B．4个C．6个D．8个8．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．D．9．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：=1，点A，B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从A点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最长路程是（）A．20B．18C．16D．1410．对于曲线C：+=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“1＜k＜4”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件；③“曲线C表示双曲线”是“k＜1或k＞4”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜”的充要条件其中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．椭圆=1上存在n个不同的点P1，P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F．数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．16B．15C．14D．1312．以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点且与直线x﹣y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若“”是真命题，则实数m的最小值为．14．若实数x，y满足，则z=3x+2y的最小值是．15．焦距是10，虚轴长是8的双曲线的标准方程为．16．过点作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆的焦点和上顶点，则椭圆方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：f（x）=（4﹣3a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假．求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（I）求ϕ的值，并化简f（x）；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）求PB和平面PAD所成的角的大小．21．已知数列{an}为等差数列，a3=5，公差d≠0，且其中的三项a1，a2，a5成等比．（1）求数列{an}的通项公式以及它的前n项和Sn；（2）若数列{bn}满足bn=，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn；（3）在（2）的条件下，若不等式λTn＜n+8•（﹣1）n（n∈N*）恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知圆M：（x+1）2+y2=，圆N：（x﹣1）2+y2=，动圆D与圆M外切并与圆N内切，圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y=x为C的一条渐近线．①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2=﹣时，求Q点的坐标．2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知命题p：∃n∈N，n+＜4，则¬p为（）A．∃n∈N，n+＜4B．∀n∈N，n+＞4C．∃n∈N，n+≤4D．∀n∈N，n+≥4【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为：∀n∈N，n+≥4，故选：D．2．函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的定义域为（）A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（0，+∞）D．（1，2）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质解关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，解得：x＞2或x＜1，故函数的定义域是（﹣∞，1）∪（2，+∞），故选：B．3．双曲线4y2﹣25x2=100的焦点坐标是（）A．（﹣5，0），（5，0）B．（0，﹣5），（0，5）C．，D．，【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程﹣=1，分析可得其焦点在y轴上以及c的值，即可得焦点的坐标．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：4y2﹣25x2=100，变形可得其标准方程为﹣=1，其焦点在y轴上，且c==，则其焦点坐标为（0，±），故选：D．4．△ABC，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知条件p：=，条件q：a=b，则p是q成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据余弦定理化简得到a=b，再根据充要条件的定义即可判断．【解答】解：∵=，∴=，∴b2+c2﹣a2=a2+c2﹣b2，∴a=b，故p是q成立的充要条件，故选：A5．如图所示的算法流程图中，若f（x）=sinx，g（x）=tanx，的值等（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】根据流程图，可得h（x）是f（x）与g（x）函数值中较大的函数值，即可得出结论．【解答】解：∵sin（﹣）=﹣，tan（﹣）=﹣，﹣＞﹣，∴=﹣，故选B．6．如图所示，椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别是e1、e2与e3、e4，e1、e2、e3、e4的大小关系是（）A．e2＜e1＜e3＜e4B．e2＜e1＜e4＜e3C．e1＜e2＜e3＜e4D．e1＜e2＜e4＜e3【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由图可得椭圆C1、C2与双曲线C3、C4具有相同的a值，根据两个椭圆的短轴大小关系，算出e1＞e2；根据两个双曲线的张口大小关系，算出e3＜e4．最后根据双曲线的离心率都大于1，而椭圆的离心率都小于1，得出e1、e2、e3、e4的大小关系．【解答】解：对于椭圆C1、C2，它们有相同的a值，设它们的短轴分别为2b1和2b2，焦距分别为2c1和2c2，∵b1＜b2，∴c1=＞=c2，可得＞，即e1＞e2；对于双曲线C3、C4，它们也有相同的a值，设它们的虚轴分别为2b3和2b4，焦距分别为2c3和2c4，∵双曲线C3的张口小于双曲线C4的张口，得双曲线C3的渐近线所夹的锐角要小于双曲线C4的渐近线所夹的锐角∴＜，得b3＜b4，即＜由此可得c3＜c4，得＜，即e3＜e4．∵e1、e2都小于1，e3、e4都大于1，∴e2＜e1＜e3＜e4故选：A7．椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个B．4个C．6个D．8个【考点】椭圆的简单性质．【分析】本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于90°时，∠P为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于90°时，符合要求的点P有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于90°时，根据椭圆关于y轴对称这个的点P有两个．【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．故符合要求的点P有六个．故选C．8．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．D．【考点】数列的求和．【分析】先根据a2=2，a5=，求出公比q，再根据{anan+1}为等比数列，根据求和公式得到答案．【解答】解：∵{an}是等比数列，a2=2，a5=a2q3=2•q3=，∴则q=，a1=4，a1a2=8，∵=q2=，∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列，∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1==（1﹣4﹣n）．故选：C．9．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：=1，点A，B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从A点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最长路程是（）A．20B．18C．16D．14【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的光学性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和4a，进而根据椭圆的定义可求得小球经过的最长路程．【解答】解：依题意可知=1中，a=4，b=3，c=，设A，B分别为左、右焦点，则当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）=2（2﹣）；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）=2（2+）；小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16，小球经过的最长路程16，故选C．10．对于曲线C：+=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“1＜k＜4”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件；③“曲线C表示双曲线”是“k＜1或k＞4”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜”的充要条件其中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】曲线与方程．【分析】根据曲线方程的特点，结合椭圆双曲线的标准方程分别判断即可．【解答】解：①当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线表示椭圆，所以①错误；②当k=2.5时，4﹣k=k﹣1，此时曲线表示圆，所以②错误．③若曲线C表示双曲线，则（4﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞4或k＜1，所以“曲线C表示双曲线”是“k＜1或k＞4”的充分必要条件，所以