历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第一试试题

第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试2000年3月19日上午8：30—10：00一、选择题（每小题6分，共60分）1、直线l1，l2分别过点P(–2，–2)，Q(1，3)，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（）（A）(–∞，34]（B）(0，+∞)（C）(34，+∞)（D）[34，+∞)2、等比数列{an}中，a1+a2+…+a5=–27，a6+a7+…+a10=3，则limn(a1+a2+…+an)=（）（A）–30（B）30（C）24310（D）–243103、正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，则A1E和C1F所成的角是（）（A）arcsin215（B）arccos35（C）4（D）34、圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为32的扇形，则过圆锥顶点的截面面积的最大值是（）（A）34（B）12（C）32（D）37165、Ifthelinex+3y+a=0andthecirclex2+y2=1havetwodifferentintersections（交点）inthethirdquadrant（象限）,thentheinterval（范围）oftherealnumberais（）（A）(–2，–1)（B）(–2，–3)（C）(1，2)（D）(3，2)6、使不等式2x–aarccosx的解是–12x≤1的实数a的值是（）（A）1–2（B）22–23（C）22–56（D）12–π7、设abc，n∈N，且1ab+1bc≥nac恒成立，则n的最大值为（）（A）2（B）3（C）4（D）58、过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A、B两点，若|AF|∶|BF|=2∶3，且直线与长轴的夹角为4，则椭圆的离心率为（）（A）15（B）25（C）35（D）259、设函数f(x)=(x–1)2+n（x∈[–1，3]，n∈N）的最小值为an，最大值为bn，记Cn=b2n–2an，则数列{Cn}（）（A）是公差不为零的等差数列（B）是公比不为1的等比数列（C）是常数数列（D）不是等差数列也不是等比数列10、如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发，绕着O点，顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f(x)，那么f(x)的图象是（）OO222222yyxxyx(B)(A)O(D)(C)xyO二、A组填空题（每小题6分，共60分）11、已知0ab，x=ab–b，y=b–ba，则x，y的大小关系是。12、{an}是等差数列，a2+a4+…+a2n=P，则该数列前2n+1项的和是。13、如果任意实数x均使arctan2134xx≥3–a成立，则a的取值范围是。14、f(x)=21||xx(11)||1)xx(,iftheequationf(x)=ahasoneandonlyonerealroot（实根）,thena=。15、若不等式3xk4x的解集为{x|x≥4}，则整数k的最大值为。16、现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的梁的强度Q=k∙b∙h2，（b为断面宽，h为断面高，k为常数），要使强度最大，则高与宽的比是。17、设P0是抛物线y=2x2+4x+3上的一点，M1，M2是抛物线上的任意两点，k1，k2，k3分别是P0M1，M1M2，M2P0的斜率，若k1–k2+k3=0，则点P0的坐标为。18、过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y=x2于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是。19、给出一系列化合物的分子式：C6H6，C10H8，C14H10，…，若该系列化合物的分子式可以无限增大，则该系列化合物分子式中含碳元素的质量分数的极限值为%。20、扇形铁皮AOB，弧长为20πcm，现剪下一个扇形环ABCD做圆台形容器的侧面，使圆台母线长30cm并从剩下的扇形COD内剪下一个最大的圆，刚好做容器的下底（指较大的底），则扇N第10题图PxOMCBA形圆心角是度。三、B组填空题（每小题6分，共30分）21、函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[–2，0]时，f(x)的解析式写成分段函数的形式是，写成统一的形式是。22、如图，正三棱柱ABC–A1B1C1的所有棱长都相等，D是AA1的中点，则BC1和CD所成的角是，面BCD与面CDB1所成二面角等于。23、x，y∈R且x2–92y2=2，则当有序数对(x，y)为时，|2x+3y|取得最小值。24、数列{an}的前n项和Sn=3n2，(n∈N)，则an=，cos2an–1+cos2an+cos2an+1=。25、圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是l，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与l的位置关系决定G是何种曲线之间的关系是：圆M与l的位置相离相切相交G是何种曲线答案：一、A、D、A、D、D、B、C、B、D、A；二、11、xy；12、2P+Pn；13、a≥0；14、±1；15、12；16、2∶1；17、(–1，1)；18、y=2x2+1；19、96；20、60；三、21、f(x)=42xx(21)(10)xx，f(x)=–|x+1|+3；22、90°，arccos64；23、(2，–23)或(–2，23)，2；24、3(2n–1)，32；25、椭圆，抛物线，双曲线.简解：6、y=2x–arccosx为增函数；7、n≤acab+acbc=1+bcab+1+abbc=2+bcab+abbc；16、Q2=12k∙2b2∙h2∙h2≤12k(22223bhh)3=12k(223d)3=427kd6；20、10R40=sin10R。A1B1C1EDCBA第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试2001年3月18日上午8：30—10：00一、选择题1、角α和β的终边分别为OA和OB，OA过点M(–sinθ，cosθ)（0θ2），关于直线y=x对称，则角β的集合是（）（A）{β|β=2kπ–θ，k∈Z}（B）{β|β=2kπ+θ，k∈Z}（C）{β|β=kπ–θ，k∈Z}（D）{β|β=kπ+θ，k∈Z}2、给出下面的四个命题：①函数y=arccosx的图象关于点(0，2)成中心对称图形；②函数y=arccos(–x)与函数y=2+arcsin(–x)的图象关于y轴对称；③函数y=arccos(–x)与函数y=2+arcsin(–x)的图象关于x轴对称；④函数y=arccos(–x)与函数y=2+arcsin(–x)的图象关于直线x=2对称。其中正确的是（）（A）①②（B）①②③（C）①③（D）③④3、函数y=sinx与函数y=arcsinx的图象的交点的个数是（）（A）1（B）3（C）无穷多（D）无法确定4、已知平面α∥平面β，它们的距离是d，直线aα，则在平面β内与直线a平行且相距为2d的直线有（）（A）0条（B）1条（C）2条（D）无数多条5、函数f(x)=log2(1+x)+alog2(1–x)是奇函数，参数a∈R，则f–1(x)的值域是（）（A）(–∞，–1)（B）(–∞，1)（C）(–1，1)（D）[–1，1]6、正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱AB、AD、AA1的中点，顶点A到△A1EF和△BDG所在平面的距离分别是p和q，则（）（A）pq（B）p=q（C）pq（D）p，q的大小关系不确定（即与棱长有关）7、ThematchboxisacuboidABCD–A1B1C1D1,itslength,widthandheightare5cm,3cmand1cmrespectively.SupposeanantclimbsalongthesurfacefromvertexAtovertexC1.Theshortestdistanceis（）（A）39（B）35（C）41（D）65（英汉小词典：matchbox火柴盒；cuboid长方体；surface表面；vertex顶点）8、Supposethattheinequalitylog2|2x2+bx+3|1hasalwaysthesolution,thentherangeofcoefficientb(real)is（）（A）(–∞，–2)∪(2，+∞)（B）(–2，2)（C）(–22，2)（D）(–∞，–22)∪(22，+∞)（英汉小词典：inequality不等式；coefficient系数）9、曲线C上任意一点到定点A(1，0)与到定直线x=4的距离之和等于5，则此曲线C是（）（A）抛物线（B）双曲线（C）由两段抛物线弧连接而成（D）由一段抛物线弧和一段双曲线弧连接而成10、点M在圆13x2+13y2–15x–36y=0上运动，点N在射线OM上（O为原点）且|OM|∙|ON|=12，则N点的轨迹方程为（）（A）5x+12y–52=0（B）5x–12y–52=0（C）5x–12y+52=0（D）5x+12y+52=0二、A组填空题11、设ω∈R+，若函数f(x)=sinωx在区间[–3，4]上是增加的，则ω的取值范围是。12、已知f(x)=3sin(x+θ)+4cos(x+φ)，其中θ，φ为常数，则f(x)的最大值是。13、已知△ABC的三内角A、B、C依次成等差数列，则sin2A+sin2C的取值范围是。14、直线l1过点A(1，0)，l2过点B(0，5)。若l1∥l2，且l1与l2的距离为5，则l1的方程是。15、渡轮航行于隔江相对（即：AB⊥江水流向）的港口A和B之间，江面宽1.8千米，江水流速为180米/分，轮船在静水中航速为300米/分，那么渡轮在A、B之间单程航行一次需要分钟。16、Givenf1(x)=1–|x|,definefn(x)=1–|fn–1(x)|,forallintegersn1.Thenf2000(2001)=。17、数列{an}满足：an+1–an=12，n=1，2，3，…，且a6=4，当此数列的前n项和Sn100时，n的最小值是。18、数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N，an+m=an+am+nm，则通项公式an=。19、平面上，一个区域内两点间距离的最大值称为此区域的直径，曲线cdyabxg(x)f(x)Oy2+|y|+4x2=1围成的平面区域的直径为。20、设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=120°，则椭圆离心率e的取值范围是。三、B组填空题21、已知二次函数f(x)和g(x)的图象如图所示：用式子表示它们的大小关系，是。22、我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支．．纪年法．．．，如甲午战争中的甲午．．，辛亥革命中的辛亥．．就是年份的名称。干支中的干．是天干．．的简称，是指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；支．是地支．．的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。在纪年时，同时分别从甲、子开始，不改变各自的顺序，循环往复下去。已知公元2001年是辛巳．．年，那么下一个辛巳年．．．．．．是公元年，距公元2001年最近的甲子．．年是公元年。23、设关于x的方程x2–2xsinθ–(2cos2θ+3)=0，其中θ∈[0，2]，则该方程实根的最大值为，实根的最小值为。24、数列{an}的前n项和为Sn=2n2（n=1，2，3，…），数列{bn}的前n项和为Tn，若a21n–2anan+1bn+a2n=0，则Tn=，limn2TSnn=。25、函数y=sin3x–2sin2x+sinx在区间[0，2]上的最大值是，此时x的值是。答案：一、A、A、A、C、C、C、C、D、C、A；二、11、(0，32]；12、25+24sin(θ–φ)；13、(34，32]；14、y=0或5x–12y–5=0；15、7