八年级数学竞赛专题相似图形

八年级数学竞赛专题相似图形一、选择题1．如图1，已知等腰梯形ABCD中，AD=BC=DC=1，AB=AC，那么底边AB的长为（）A．215;B．215;C．215或215;D．2(1)(2)(3)2．如图2，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，四边形ABEF，ACGH均为正方形，则ACGHABEFSS正方形正方形:=（）A．AB：AC;B．BD：DC;C．22:CDBD;D．22:ABAC3．如图3，在△ABC中，E是中线AD的中点，则AF：FC=（）A．1：2;B．1：3;C．2：3;D．2：54．如图4，过△ABC的重心O点（三条中线的交点），作BC的平行线，交AB于D，交AC于E，则△ADE与△ABC的面积比是（）A．1：2;B．2：3;C．1：3;D．4：9(4)(5)(6)5．如图5，在△ABC中，BD：DC=3：1，G是AD的中点，BG延长线交AC于E，那么BG：GE=（）A．3：1;B．4：1;C．6：1;D．7：1二、填空题1．如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一点，且AD∥EF，EF交CD于F，AD=2，BC=4，AE：EB=2：3，则EF=_________。2．如图7，已知矩形DEFG内接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC上，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，445DEFGS矩形，则矩形的边长DG=__________。3．如图8，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，若AB=5cm，AC=3cm，则AD=_________。(7)(8)(9)4．如图9，矩形1111DCBA在矩形ABCD的形内，各平行边间的距离都是a，且矩ABCD∽矩形1111DCBA，若AB=2cm，则AD=_________。5．过线段AB的两端作AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，连AD、BC交于O，AC=a，BD=b（ba），那么点O到线段AB的距离为__________。三、解答题1．如图，已知D、E是AC、AB上的点，BD、CE交于O点，过O点作OF∥CB交AB于F，AD=21CD，AE=21BE。求证：F是AB的中点。2．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，若∠BDE=∠CDF，E、F分别为AB、AC上的点。求证：EDCBDFSS.3．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，M、N分别为A原中点，MN交AC、BD于E、F。求证：BD·OE=AC·OF.4．已知△ABC中，AB=AC=2，AB边上的高CH为3，正方形DEFG的DE边在BC上，F、G分别在AC、AB上，求：DE的长度。5．已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角。求证：HDADPD2.答案一、选择题1．B2．B3．A4．D5．D提示：1．如图，过C作CE∥AD交AB于E。所以四边形AECD为平行四边形又因为AD=BC=DC=1，所以平行四边形AECD为菱形，CD=AE=EC=1，所以∠B=∠CEB又因为AB=AC，所以∠B=∠BCA所以∠CEB=∠BCA，因为∠B为公共角，所以△ABC∽△CBE，BEBCBCAB设AB=X，则BE=X-1所以111XX所以,012XX因为X0所以X=215所以AB=2152．因为ABEF，ACGH均为正方形，所以正方形ABEF∽正方形ACGH，它们面积比等于相似比的平方，即22ACAB在Rt△ABC中，AD⊥BC，所以Rt△ABD∽Rt△CBA所以BD：AB=AB：BC所以2AB=BD·BC同理有2AC=CD·BC所以22:ACAB=BD：CD3．如图，过D作DG∥BF，交AC于G因为E为AD中点，EF∥DG，所以F炽点，因为D为BC中点，DG∥BF，所以G为FC中点所以AF=FG=GC所以AF：FC=1：24．如图，过F作FH∥CG交AB于H，由F为BC中点，所以BH=HG=21BG=21AG因为OG∥FH所以AO：AF=AG：AH=AG：（AG+HG）=1：（1+21）=2：3因为DE∥BC所以△ADE∽△ABC，AO：AF=AE：AC所以22::ACAESSABCADE9:43:2:2222AFAO5．如图，作GM∥AC交BC于M因为G是AD中点，所以M为DC中点，所以DM=MC=21DC所以BG：GE=BM：MC，且BD：DC=3：1所以BD=3DC所以BG：GE=（BD+DM）：DM=（3DC+21DC）：21DC=7：1二、填空题1．542；2．;416433cm或3．cm871；4．2cm；5．ababbaab或解答：1．如图，过A作AG∥CD交BC于G，交EF于M，则EM：BG=AE：AB=AE：（AE+BE）=2：5又AD=2，BC=4，所以BG=BC-CG=BC-AD=2所以EM：2=2：5所以EM=54又MF=AD=2，所以EF=EM+MF=5422．如图，作AM⊥BC于M，交DG于N在矩形DEFG中，DG∥BC，所以△ADG∽△ABC所以BCDGAMAN①设DE=x，因为445DGDESDEFG矩所以DG=cmx445又因为∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm所以BC=cmACAB1022因为,2121ACABAMBCSABC所以AM=,524BCACABAN=AM-x=x524所以①式可化为10445524524xx所以0272452xx所以541,321xx所以DE长为3cm或cm541当DE=3cm时，DG=cm433当DG=cm59时，DG=cm4163．如图，延长BA到E，使AE=AC，连结CE因为∠CAE=180°-∠BAC=60°所以△ACE为等边三角形所以∠E=60°因为AD平分∠BAC所以∠BAD=∠E=60°所以AD∥EC，所以△BAD∽△BEC所以BA：BE=AD：EC=AD：AC所以BA：（BA+AE）=AD：AC所以1585131111ACABACABACABAD所以AD=1874．如图因为矩形ABCD∽矩形A1B1C1D1所以A1B1：AB=A1D1：AD因为A1B1=AB-2α，A1D1=AD-所以（AB-2α）：AB=（AD-2α）：AD因为AB（AD-2α）=AD（AB-2α）所以AB·AD-AB·2α=AD·AB-AD·2α所以AB·2α=AD·2α所以AD=AB=2cm5.①如图，若AC，BD在AB的两侧，作OP⊥AB交BA延长线开P，则OP∥CA∥BD，所以OP：DB=AO：AD而AO：DO=CA：DB=a:b所以AO：AD=a:（b-a）所以OP：b=a:（b-a）所以OP=abab②如图，若AC、BD在AB的两侧作OP⊥AB于P，则CA∥OP∥BD因为OP：DB=AO：ADAO：DO=CA：DB=a:b所以AO：AD=a:(a+b)所以OP：b=a:(a+b)所以OP=baab三、解答题1．如图，过A作MN∥BC交CE，BD的延长线于M、N所以MA：BC=AE：BEAN：BC=AD：DC因为AD=21CD，AE=21BE所以MA：BC=1：2，AN：BC=1：2所以MN=BC因为MN∥BC所以∠M=∠OCB，∠N=∠OBC所以△MON≌△COB所以ON=OB，因为OF∥BC∥MN所以F是AB中点2．如图，过E作EM⊥BC于M，过F作FN⊥BC于N因为AB=AC所以∠ABC=∠ACB因为∠BDF=∠CDF所以△BDE∽△CDF，DE：DF=BD：CD又因为∠EMD=90°=∠FND∠BDE=∠CDF所以△MDE∽△NDFDE：DF=EM：FN所以BD：CD=EM：FN所以21BD·FN==21CD·EM即EDCBDFSS3．如图，取AB的中点G连结GM，GN因为M、N分别为AD，BC中点所以GM∥BD，GM=21BDGN∥AC，GN=21AC所以∠GMD=∠OFE，∠GNM=∠OEF所以△GMN∽△OFE所以GM：OF=GN：OE即21BD：=21AC：OE所以BC·OE=AC·OF4．（1）当∠BAC锐角时，如图，作BC边上的高AK，交GF于MAH=22CHAC=34=1所以AH=BH=21AB，因为CH⊥AB所以AB=AC=BC=2，所以AK=3设正方形边长为X因为FG∥BC，所以△AGF∽△ABC所以GF：BC=AM：AK所以X：2=（3-X）：3所以X=34-6即正方形边长为34-6（2）当∠BAC为钝角时，如图，作BC边上高AK在Rt△ACH中，AH=22CHAC=1所以BH=AB+AH=3所以Rt△BHC中，BC=22CHBH=39=23在Rt△ABK中，AK=22BKAB=2241BCAB=1因为FG∥BC，所以△AFG∽△ABC，所以X=23=（1-X）：1所以X=113212即正方形边长为1132125．如图，连结GH并延长交AB开E则CE⊥AB所以Rt△ABD∽Rt△CHD所以AD：CD=BD：HD，所以AD·HD=BD·CD又△BPD∽△PCD所以BD：PD=PD：CD所以PD2=BD·CD所以PD2=AD·HD.