数学竞赛中的高斯函数

数学竞赛中的高斯函数一、知识概要1，定义：设xR，用x表示不超过x的最大整数。则yx称为高斯函数，也叫取整函数。显然，yx的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即01xxaa，因此，xx1x，这里，x为x的整数部分，而xxx为x的小数部分。2，性质1，函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当12xx时，有12xx；2，nxnx，其中nZ；3，11xxxx；4，若xyn，则,,xnaynb其中0,1ab；5，对于一切实数,xy有xyxy；6，若0,0xy，则xyxy；7，1xxx8，若nN，则xxnn；当1n时，xx；9，若整数,ab适合abqr（0,,bqr是整数，0rb），则aqb；10，x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有xn个；11，设p为任一素数，在!n中含p的最高乘方次数记为!pn，则有：（x不是整数时）（x是整数时）12!mmmnnnpnpnpppp。证明：由于p是素数，所有!n中所含p的方次数等于!n的各个因数1,2,,n所含p的方次数之总和。由性质10可知，在1,2,,n中，有np个p的倍数，有2np个2p的倍数，有3np个3p的倍数，，当1mmpnp时，120mmnnpp，所以命题成立。高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。二、解题示例例1，若实数r使得192091546100100100rrr，求100r。解：等式左边共73项，且因192091,,,100100100都小于1，则每一项为r或1r，注意到737546738，故必有7r。进一步有：73735546，所以原式左边从第1项至第38项其值为7，自第39项以后各项值为8。即：56577;8.0.568,0.5787.437.44100100rrrrr例2，计算：100123101nn的值。解：由题意得：对于任意的2310123231,2,,100,,23101101101nnnnZ，100123101231012323231;22.22501100101101101101101nnnnnn说明：本例采用了分组凑整的思想。例3，对自然数n及一切实数x，求证：121nxxxxnxnnn。（厄尔密特等式）证明：对任意的自然数n，构造函数121nfxnxxxxxnnn，则：112111nfxnxxxxxfxnnnn，所以，函数fx为周期函数，其周期1Tn，因此，原命题只需证0fx在区间10,n内成立即可。而这一结论显然是成立的。例4，对任意的nN，证明：1414243nnnnn。证明：首先证明41143nn。令411xn，则241xn。当2xmmZ时，22441xmn，于是21mn，那么2244443xmnn；当21xmmZ时，2244141xmmn，2mmn即21mmn，那么22414543xmmnn。所以命题成立，也就是：41414243411nnnnn。故：414243nnn。又：22121221241nnnnnnnn221212212143nnnnnnnn41143nnnn1414243nnnnn注：本例的证明采用了“两边夹”法则。例5，解方程5615785xx。解：令1575xnnZ，则5715nx，带入原方程整理得：103940nn，由高斯函数的定义有10390140nn，解得：1133010n，则0,1nn。若0n，则715x；若1n，则45x。注：本例中方程为uv型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。例6，解方程1142xx。解：由高斯函数的性质，得：111142xx，即17x，令1111,42xxyy，在同一坐标系中画出二者的图象：分析两者在区间1,7内的图象，显然，当1,1x时，104x而112x，方程不成立；当1,3x时，11042xx；当3,5x时，11142xx；当5,7x时，114x而122x，方程不成立。综上所述，原方程的解是：15xx。注：本例为uv型方程。首先由11uv，求出x的取值区间。但此条件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用ufx和vgx的图象进行分析才能得到正确结果。例7，解方程333xx。解：对于次数较高的含x的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法。若1x，则3331210.xxxxx原方程不成立；若10x，则333331311xxxx。原方程不成立；若01x，则33333033.xxxx原方程不成立；若12x，则33331.xxx原方程即为334x；解得：343x；若2x，则3333324.xxxxxxx原方程不成立；所以，原方程的解为：343xx。例8，证明：若p是大于2的质数，则1252pp被p整除。证明：本例采用“构造法”。由二项式定理知：对于任意的,2525pppZ是一个整数，又因为1251,252525pppp，于是有：1122442122522252525pppppppppCCC,其中p是质数。因为1212,4,,1!kpppppkCkpk都能被质数p整除，所以原命题成立。三、巩固练习1，计算5020305503nn的值。（76304）2，求函数12.5010012.5xfxxx的值域。0,1,2,3,4,5,6,73，求方程272134xx的实数解。123312723,,,222xxx4，求方程10011!2!10!xxx的整数解。584x5，,ab是互质的正整数，求证：11122baabaabbb。（利用1braraabb）6,在1至1996中有多少个整数m，使得274mm不是既约分数？（86）7，试证明：对任意实数x，等式1022kkkxx成立。（利用122aaa）