平面几何竞赛题第75题

JGKNMODCBAPMGFEDCBAMNHGFEDCBAx-βx-αβαKGFEDCBA第75题：（2010全国高中数学联赛加赛试题）已知：锐角⊿ABC的外心为O,K是BC边上一点（不是BC中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M，求证：若OK⊥MN，则A、B、D、C四点共圆证明：延长OK交MN于J,延长NM交CB延长线于G,连接BO,CO,BJ,CJ,易知：G,K调和分割BC,OK⊥MN,∴∠CJO=∠BJOsinsinsinsinOBOJOCOJBJOOBJOJCOCJ,∵K不是中点，∴∠OBJ+∠OCJ=180°∴O,B,J,C四点共圆，∴∠BJG=12BOCMAN=CJN,∴A,B,J,N,四点共圆，A,C,J,M,四点共圆ABNACMAJNAJM,∴A,B,D,C四点过圆第76题；《几何变换与几何证题》P219在锐角⊿ABC中，AD是BC边上的高，P是AD上一点，直线BP交AC于E,CP交AB于F,求证：∠EDA=∠ADF证：连接EF,交AD于M,若EF//BC,得:D是BC中点，易知M是EF中点，AD垂直平分EF,∴∠EDA=∠ADF,若EF不平行BC,设FE交BC延长线于G,M,G调和分割E,F,∵AD是BC边上的高∴∠EDA=∠ADF(第193，194题用此方法)第77题：《几何变换于几何证题》P211(全国高中数学联赛，1999)在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD,在CD上取点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证：∠GAC=∠EAC证明(一)：连接EF,BD,若EG//BD,易知BH=HD,AC⊥BD,∴AC垂直平分GE,∴∠GAC=∠EAC若EG不平行BD,设BD的延长线交GE延长线于M连AM,H;M调和分割B,D∵对角线AC平分∠BAD,∴AH⊥AM,N,M调和分割G,E,∴∠GAC=∠EAC证明（二）：连BD交AC于K,设∠GAC=,∠CAE=∠BAC=∠CAD=x,∠BAG=x∠EAD=x,50°20+θ30°-θθ50°-θ30°100°80°PCBAθβα2x3x3x4xPNMCBA∴sin()sin(1),(2),(3)sinsin()BKABDEADEADxCGACKDADECACEACBGABx1BKDECGDKCEBG,将（1），（2），（3）代人可得：sin()sinsinsin(),xxcos()cos()cos()cos()xxxx，cos()cos()xx，∴,xx或,0xxx（舎），∴，∴∠GAC=∠EAC第78题：《几何变换与几何证题》P280在⊿ABC中，AB=AC,∠BAC=80°,P是⊿ABC为一点，∠PCA=100°,∠PAC=30°求：∠PBA解：令∠PBC=,∴00000sin(30)sin30sin501,1sinsin50sin80BCCPACCPACBC00000sin(30)2sinsin802sincos10sin(10)sin(10)∴000sin(30)sin(10)sin(10)，00002cos20sin(10)sin(10),10，∠PBA=10°第79题：《几何变换与几何证题》P172已知：⊿ABC中，AB=AC,AB⊥AC,M是BC的中点，N是AC上一点，CM与BN交于P,求证：CN=2NA的充要条件是：∠MAP=45°证明：令CN=2x,CN=2NA,4,3CNxAMBNx令∠BNA=,∠ACM=,∠NPC=,63tantan24tantan()1631tantan124xxxxxxxx045