高斯函数讲义-----学生用

高斯函数一、知识概要1，定义：设xR，用x表示不超过x的最大整数。则yx称为高斯函数，也叫取整函数。显然，yx的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即01xxaa，因此，xx1x，这里，x为x的整数部分，而xxx为x的小数部分。2，性质1，函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当12xx时，有12xx；2，nxnx，其中nZ；3，11xxxx；4，若xyn，则,,xnaynb其中0,1ab；5，对于一切实数,xy有xyxy；6，若0,0xy，则xyxy；7，1xxx8，若nN，则xxnn；当1n时，xx；9，若整数,ab适合abqr（0,,bqr是整数，0rb），则aqb；10，x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有xn个；11，设p为任一素数，在!n中含p的最高乘方次数记为!pn，则有：（x不是整数时）（x是整数时）12!mmmnnnpnpnpppp。证明：由于p是素数，所有!n中所含p的方次数等于!n的各个因数1,2,,n所含p的方次数之总和。由性质10可知，在1,2,,n中，有np个p的倍数，有2np个2p的倍数，有3np个3p的倍数，，当1mmpnp时，120mmnnpp，所以命题成立。高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。二、解题示例例1，若实数r使得192091546100100100rrr，求100r。例2，计算：100123101nn的值。例3，对自然数n及一切实数x，求证：例4，对任意的nN，证明：1414243nnnnn。例5，解方程5615785xx。例6，解方程1142xx。例7，解方程333xx。例8，证明：若p是大于2的质数，则1252pp被p整除。三、巩固练习1．如果x为任意实数，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[-7]=7，[-3.1]=-4，[3]=1，则满足等式[x]-3=0的x的范围是____________。2．若[x]=5，[y]=-3，[z]=-1,mj[x–y–z]可以取值的个数是（）A．3B．4C．5D．63．设[x]表示不超过x的最大整数，若M=][,][xNx，其中x≥1，则一定有（）A．MNB．M=NC．MND．以上答案都不对。4．给出下面三个命题：（1）[x+1]=[x]+1;（2）[x+y]=[x]+[y]（3）[x·y]=[x]·[y]其中正确命题的个数是（）A．0B．3C．1D．25．[x]表示取数x的整数部分，若)4][4][(uxuxy且当x=1,8,11,14时，y=1；x=2,5,12,15时，y=2；x=3,5,9,16时，y=3；x=4,7,10,13时，y=0，则表达式中u等于（）A．42xB．41xC．4xD．41x6．实数a,b满足关系式b=[a]+[a-2]–1和b=[a]+1的值一定是（）A．大于9而小于10B．大于或等于9而小于10C．大于9而小于或等于10D．整数7．设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（）A．[x]=|x|B．[x]≥2xC．[x]-xD．[x]x–18．记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且222]1)1([)1(nnnnIA．I0B．I0C．I=0D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现。9．设x≥0，求证：][]][[xx10．记[a]为不大于a的最大整数，{a}=a–[a]，求证：如果{x}+{y}=1，则[x+y]=[x]+[y]+111．如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如[-5]=-5，[-2,3]=-3，[3]=1，设x、y满足方程16]2[32][2yxyx则[x+y]=__________。12．若x=29+173,则2x-x[x]=________。13．已知方程[143x]=x–3，那么满足方程的x是__________。14．方程2x-8[x]+7=0的所有解的平方和等于_____________。15．[a]表示不大于a的最大整数，那么方程[3x+1]=2x-21的所有根的和是____________。16．方程1}{][][][23xxxx的解是_____________。17．设,}731{,]731[ba求aba)171(2的值。18．求证：[zx]≥[x]+.2]2[x19．解方程：3][3xx。20．若x≥1,y0，求证：][][][xyxy。