初中数学竞赛函数知识点讲解

初中数学竞赛函数知识点讲解：1.常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量.在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数.2.函数设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.3.自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数.(2)分式：分母不为零.(3)偶次方根：被开方数为非负数.(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零.4.函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x=a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x=a时的函数值.5.函数的表示法(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.6.函数的图象把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象.由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围;(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值;(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点;(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来.7.一次函数(1)一次函数如果y=kx+b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数.(2)一次函数的图象一次函数y=kx+b的图象是一条经过(0，b)点和点的直线.特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线.需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y=kx+b(k≠0)的图象”，因为还有直线y=m(此时k=0)和直线x=n(此时k不存在)，它们不是一次函数图象.(3)一次函数的性质当k0时，y随x的增大而增大;当k0时，y随x的增大而减小.直线y=kx+b与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为.(4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，当y=0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标.②二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值;从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.③任何一元一次不等式都可以转化ax+b0或ax+b0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围.8.反比例函数(1)反比例函数如果(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数.(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线.(3)反比例函数的性质①当k0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小.②当k0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大.③反比例函数图象关于直线y=±x对称，关于原点对称.(4)k的两种求法①若点(x0，y0)在双曲线上，则k=x0y0.②k的几何意义：若双曲线上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S△AOB(5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数y=k1x(k1≠0)，反比例函数，则当k1k20时，两函数图象无交点;当k1k20时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称.1.二次函数如果y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数.几种特殊的二次函数：y=ax2(a≠0);y=ax2+c(ac≠0);y=ax2+bx(ab≠0);y=a(x-h)2(a≠0).2.二次函数的图象二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线.由y=ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.3.二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线y=ax2+bx+c的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上;(2)若a0，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x时，y随x的增大而减小;当x时，y随x的增大而增大;当x=，y有最小值;若a0，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x，y随x的增大而增大;当时，y随x的增大而减小;当x=时，y有最大值;(3)抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为(0，c);(4)在二次函数y=ax2+bx+c中，令y=0可得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的情况：当-4ac0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为;当时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点;当时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.4.抛物线的平移抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.