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——综合练习题（十）一、如图1所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为H，上端封闭，左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装由阀门的极细管道相连通，容器、活塞和细管都是绝热的。开始时，阀门关闭，左边容器中装有热力学温度为T0的单原子理想气体，平衡时活塞到容器底的距离为H，右边容器内为真空，现将阀门缓慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡，求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。提示：一摩尔单原子理想气体的内能为，其中R为摩尔气体常量，T为气体的热力学温度。二、位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd，ab长为l1，是水平的，bc长为l2，线框的质量为m，电阻为R，其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界PP'和QQ'均与ab平行，两边界间的距离为H，Hl2，磁场的磁感强度为B，方向与线框平面垂直，如图2所示，令线框的dc边从离磁场区域上边界PP'的距离为h处自由下落，已知在线框的dc边进入磁场以后，ab边到达边界PP'之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到dc边刚刚到达磁场区域下边界QQ'的过程中，磁场作用于线框的安培力作的总功为多少？三、一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（如图）。1、用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实；2、用计算法求出此像的位置和大小。四、一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为ρ1和ρ2（ρ1ρ2）。现让一长为L、密度为(ρ1+ρ2)／2的均匀木棍，竖直地放在上面液体内，其下端离两液体分界面的距离为3L／4，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器相碰。五、将一根长为100多厘米的均匀弦线，沿水平的x轴放置，拉紧并使两端固定。现对固定的右端25cm处（取该处为原点O，如图一所示）的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向（即y轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图二所示。该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）。已知该波在弦线中的传播速度为2.5cm／s，且波在传播和反射过程中都没有能量损失。1、试在图一中准确地画出自O点沿弦向右传播的波在t=2.5s时的波形图。2、该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播，反射点总是固定不动的。这可看成是向右传播的波和向左传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零。由此观点出发，试在图一中准确地画出t=12.5s时的波形图。3、在图一中准确地画出t=10.5s时的波形图。六、1997年8月26日在日本举行的国际天文学大会上，德国MaxPlanck学会的一个研究组宣布了他们的研究成果：银河系的中心可能存在一个黑洞。他们的根据是用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得到的数据。他们发现，距离银河系中心约60亿公里的星体正以2000km／s的速度围绕银河系中心旋转，根据上面的数据，试在经典力学的范围内（见提示2），通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少？（引力常数G=6.67×10-20km3·kg-1·s-2）提示：1、黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至于包括光在内的所有物质都逃脱不了其引力作用。2、计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型，在这种模型中，在黑洞表面上的所有物质，即使初速度等于光速c也逃脱不了其引力的作用。七、有一半径为R的不导电的半球薄壳，均匀带电，倒扣在xOy面上，如图所示。图中O为球心，ABCD为球壳边缘，AOC为直径。有一电量为q的点电荷位于OC上的E点，OE＝r。已知将此点电荷由E点缓慢移至球壳顶点T时，外力需做功W，W0，不计重力影响。1、试求将此点电荷由E点缓慢移至A点外力需做功的正负大小，并说明理由。2、P为球心正下方的一点，OP＝R。试求将此点电荷由E点缓慢移至P点外力需做功的正负及大小，并说明理由。八、如图所示，一薄壁钢筒竖直放在水平桌面上，筒内有一与底面平行并可上下移动的活塞K，它将筒隔成A、B两部分，两部分的总容积V＝8.31×10－2米3。活塞导热性能良好，与筒壁无摩擦、不漏气。筒的顶部轻轻放上一质量与活塞K相等的铅盖，盖与筒的上端边缘接触良好（无漏气缝隙）。当筒内温度t＝27℃时，活塞上方A中盛有nA＝3.00摩尔的理想气体，下方B中盛有nB＝4.00摩尔的理想气体，B中气体中体积占总体积的。现对筒内气体缓慢加热，把一定的热量传给气体，当达到平衡时，B中气体的体积变为占总体积的。问筒内的气体温度t’是多少？已知筒外大气压强为p0＝1.04×105帕，普适气体常数R＝8.31焦/摩尔·开。参考答案一、设容器的截面积为A，封闭在容器中的气体为v摩尔，阀门打开前，气体的压强为p0，由理想气体状态方程有p0AH=vRT0(1)打开阀门后，气体通过细管进入右边容器，活塞缓慢向下移动，气体作用于活塞的压强仍为p0，活塞对气体的压强也是p0，设达到平衡时活塞的高度为x，气体的温度为T，则有p0(H+x)A=vRT(2)根据热力学第一定律，活塞对气体所做的功等于气体内能的增量，即p0(H－x)A=vR(T－T0)(3)由(1)、(2)、(3)式解得x＝HT＝T0二、设线框得dc边刚达到磁场区域上边界PP'时得速度为v1，则由mv12=mgh(1)dc边进入磁场后，按题意线框虽然受安培力阻力作用，但依然加速下落，设dc边下落到PP'得距离为△h1，速度达到最大值，以v0表示这最大速度，这时线框中得感应电动势为ε=Bl1v0线框中的电流作用于线框的安培力为f=Bl1I=(2)速度达到最大的条件时安培力f=mg由此得v0＝(3)在dc边向下运动距离△h1的过程中，重力做功A1=mg△h1，安培力做功A2，由动能定理得A1+A2=将(1)、(3)式代入得安培力作的功(4)线框速度达到v0后，作匀速运动，当dc边匀速向下运动的距离为△h2=l2－△h1时，ab边到达磁场的边界PP'，整个线框进入磁场，在线框的dc边向下移动△h2的过程中，重力做功A1'，安培力做功A2'，但线框速度未变化，由动能定理A1'+A2'=0A2'=－A1'=－mg△h2=－mg(l2－△h1)(5)整个线框进入磁场后，直至dc边达到磁场区的下边界QQ'，作用于整个线框的安培力为零，安培力作的功也为零，线框只在重力作用下作加速运动。所以，整个过程中安培力作的总功A＝A2+A2'＝－mg(l2+h)+三、1、用作图法求得物AP的像A'P'及所用各条光线的光路如图预解所示。说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L和与它密接的平面镜M组合LM。如图预解所示，图中O为L的光心，AOF'为主轴，F和F'为L的两个焦点，AP为物，作图时利用了下列三条特征光线。（1）由P射向O的入射光线，它通过O后方向不变，沿原方向射向平面镜M，然后被M反射，反射光线与主轴的夹角等于入射角，均为α，反射线射入透镜时通过光心O，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中OP'。（2）由P发出且通过L左方焦点F的入射光线PFR，它经过L折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜M，然后被M反射，反射光线平行于L的主轴，并向左射入L，经L折射后的出射线通过焦点F，即为图中的RFP。（3）由P发出的平行于主轴的入射光线PQ，它经过L折射后的出射线将射向L焦点F'，即沿图中QF'方向射向平面镜，然后被M反射，反射线指向与F'对称的F点，即沿QF方向。此反射线经L折射后的出射线可用下法画出；通过O作平行于QF的辅助线S'OS，S'OS通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于T点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故QF经L折射后的出射线也通过T点，图中的QT即为QF经L折射后的出射光线。上列三条出射光线的交点P'即为LM组合所成的P点的像，对应的A'即A的像点。由图可判明，像A'P'是倒立实像，只要采取此三条光线中的任意两条即可得A'P'，即为正确解答。2、按陆续成像计算物AP经LM组合所成像的位置、大小，物AP经透镜L成的像为第一像，取u1=2f，由成像公式可得像距v1=2f，即像在平面镜后距离2f处，像的大小H'与原物相同，H'=H。第一像作为物经反射镜M成的像为第二像，第一像在反射镜M后2f处，对M来说是虚物，成实像于M前2f处，像的大小H也与原物相同，H=H'=H。第二像作为物，再经透镜L而成的像为第三像，这时因为光线由L右方入射，且物（第二像）位于L左方，故为虚物，取物距u2=-2f，由透镜公式可得像距上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离2f／3处，像的大小可由求得，像高为物高的四、1、用S表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力和向上的浮力ρ1LSg。由牛顿第二定律可知，其下落的加速度①用t1表示所需的时间，则②由此解得③2、木棍下端开始进入下面液体后，用L'表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为，但浮力变为ρ1L'Sg+ρ2(L-L')Sg。当L=L'时，浮力小于重力；当L'=0时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置。用L0'表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有④由此可得L0'=L／2⑤即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为z轴，向上为正，则当木棍中点的坐标z=0时，木棍所受合力为零，当中点坐标为z时，所受合力为式中k=(ρ2-ρ1)Sg⑥这时木棍的运动方程为aZ为沿z方向的加速度⑦由此可知为简谐振动，其周期⑧为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A。木棍下端刚进入下面液体时，其速度v=a1t1⑨由机械能守恒可知⑩式中为此时木棍中心距坐标原点的距离，由①、③、⑨式可求得v，再将v和⑥式中的k代入⑩式得A=L由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（见图）上可知，对应的θ为300，对应的时间为T／12。因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从到所用的时间为3、从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与a1一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间t3=t14、总时间为五、六、[解答]首先求出一定质量的引力源成为黑洞应满足的条件，按照黑洞的定义，包括以光速运动的光子也不能脱离黑洞的吸引，即不能逃离黑洞的表面，而拉普拉斯经典黑洞模型则把光看作是以光速c运动的某种粒子。我们知道，物体在引力作用下的势能是负的，物体恰能逃离引力作用，表示物体运动到无限远的过程中，其动能恰好全部用于克服引力作功。物体不能逃离引力作用，表示该物尚未到达无限远处，其动能已全部用于克服引力作功，但引力势能仍是负的，这意味着它在引力源表面处时，其动能与势能之和小于零。若某引力源的质量为M，半径为rB，质量为m的粒子在引力源表面的速度等于光速，但它仍不能逃离引力作用，则按牛顿力学的观点应有下列关系：……①或……②这就是说，对于质量为M的引力源，只有其半径rB（叫做黑洞的引力半径），小于时才会在其表面产生足够强的引力，使得包括光在内的所有物质都不能脱离其引力作用。对光而言，人们将无法③④⑤七、解答：1、解法一。设想，取另一完全相同的带电半球壳扣在题给的半球壳下面，构成一个完整的均匀带电球壳，则球壳及其内部各点电势都相等。令V表示此电势，根据对称性可知，上、下两个半球壳分别在圆面ABCD上各点引起的电势是相等的，再由电势叠加原理可知，当只有上半球壳存在时，圆面ABCD上各点的电势都应为完整球壳内电势的一半，即V/2，所以将电荷由E点移至A点的过程中，外力作功为零。解法二。（用反证法证明圆面ABCD上各点的场强必垂直该面）在圆面A