几何三大变换之旋转

几何三大变换之旋转探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。一、中心对称和中心对称图形：典型例题：例1.（2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【】【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、（D）（C）（B）（A）C、D都不符合中心对称的定义。故选B。例2.（2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【】A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形．故选B。例3.（2012广东深圳3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】【答案】A。【考点】中心对称和轴对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项正确；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D.不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误。故选A。例4.（2012福建宁德4分）下列两个电子数字成中心对称的是【】【答案】A。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，符合条件的只有A。故选A。例5.（2012湖北随州4分）下列图形：①等腰梯形，②菱形，③函数1y=x的图象，④函数y=kx+b(k≠0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【】A．①②B.①③C.①②③D.②③④【答案】D。【考点】轴对称图形和中心对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，①等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误；②菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；③函数1y=x图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；④函数y=kx+b（k≠0）图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确。综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形有②③④。故选D。例6.（2012山东德州4分）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是▲．（只要填写一种情况）【答案】AD=BC（答案不唯一）。【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：∵AB=CD，∴当AD=BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当AB∥CD时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。当∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°时，四边形ABCD是平行四边形。故此时是中心对称图形。故答案为：AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等（答案不唯一）。例7.（2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标为▲．【答案】（﹣1，﹣1）。【考点】坐标与图形的旋转变化，中心对称的性质。【分析】∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，∴△ABC和△DEF关于点P中心对称。∴连接AD，CF，二者交点即为点P。由图知，P（﹣1，﹣1）。或由A（0，1），D（﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P的坐标为（021322，），即（﹣1，﹣1）。练习题：1.（2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．2.（2012广东珠海3分）下列图形中不是中心对称图形的是【】A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正五边形3.（2012江苏盐城3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】4.（2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】5.（2012河南省3分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A．B．C．D．6.（2012黑龙江大庆3分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【】A.y2xB.2yxC．2yx2D.y2x7.（2011云南曲靖3分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距▲公里；二、构造旋转图形：典型例题：例1.（2012浙江丽水、金华3分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A．①B．②C．③D．④【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称。故选B。例2.（2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），C（－1，－3）.①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。②如图所示，A2（2，1）。【考点】轴对称和中心对称作图。【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。例3.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.（3）在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与成中心对称，其对称中心的坐标为.【答案】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示：（2）平移后的△A2B2C2如图所示：点B2、C2的坐标分别为（0，－2），（－2，－1）。（3）△A1B1C1；（1，－1）。【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。（2）根据平移的性质，点A（－2，4）→A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（－2，0）、C（－4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，－2）、C2（－2，－1），连接即可。（3）如图所示。例4.（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）【答案】解：（1）如图所示：（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，∴22AC2222。∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=6。当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以22为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以22为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：24522=360∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π。【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可。（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。例5.（2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点A1的坐标为▲，B1的坐标为▲，C1的坐标为▲；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。【答案】解：作图如下：（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。（2）符合要求的变换有两种情况：情况1：如图1，变换过程如下：将△A2B2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B1为中心顺时针旋转900。情况2：如图2，变换过程如下：将△A2B2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A1为中心顺时针旋转900。【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。（2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。例6.（2012福建漳州8分）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上)．(1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90o后的图形；(2)完成上述设计后，整个．．图案的面积等于____