高中数学竞赛专题讲座---不等式与函数性质的综合应用(1)

不等式与函数性质的综合应用数学竞赛中我们经常遇到这类不等式：函数f(x)在(a,b)连续，x1,x2,x3(a,b)，且x1+x2+x3为定值，求或证明f(x1)+f(x2)+f(x3)的最值。本文将举例给出解决此类问题的方法。首先我们建立以下三个定理。定理1若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，对任意x0(a,b)，不等式)())(()(000xfxxxfxf成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，给定的对任意x0(a,b)，不等式)())(()(000xfxxxfxf成立。定理1的几何意义为：设M(x0，y0)为函数f(x)图像上任意一点，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x0，y0)处的切线(如果存在切线)上方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x0，y0)处的切线(如果存在切线)下方。定理2对任意),(),(banm，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，当),(nmx时，不等式)()()()()(mfmxmnmfnfxf成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，当),(nmx时，不等式)()()()()(mfmxmnmfnfxf成立。定理2的几何意义为：若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，函数f(x)的图像夹在点M，N之间的部分在过这两点的弦的下方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，函数f(x)的图像夹在点M，N之间的部分在过这两点的弦的上方。定理3函数f(x)在(a,b)上连续，给定的x0(a,b)，若对任意x(a,b)，不等式)())(()(000xfxxxfxf成立，则当x1,x2(a,b)，且x1+x2=2x0时，f(x1)+f(x2)≥2f(x0)成立；若对任意x(a,b)，不等式)())(()(000xfxxxfxf成立，则当x1,x2(a,b)，且x1+x2=2x0时，f(x1)+f(x2)≤2f(x0)成立。定理3容易推广到n个变量的情况。利用函数极限的性质与导数的定义，凸函数的定义不难证明这三个定理，本文从略。定理1，2实质是“化曲为直”，利用切线或弦估计函数f(x)的情况。例1已知1,,,abcabcR，求证：22222264(1)(1)(1)27abc证：记22()(1),(01)fxxx，则3132()44,()327fxxxf，222232164(1)()27(1)32(1)27381xxxx2(31)(1)(35)0xxx而01x，故上式恒成立。从而()()()fafbfc326464(1)272727abc，等号再a=b=c是成立。例2已知x，y，z是正实数，且x+y+z=1，求证：0131313222222zzzyyyxxx(2003湖南省高中数学竞赛试题)证：记2213)(xxxxf（0x1），则f(x)的导函数为)(/xf222)1(16xxx，当31x时，)31(/f109，所以f(x)在31x处的切线方程为：)31(109xy，下证：当0x1时，不等式2213xxx103109x事实上，当0x1时，0)3()13(2xx成立，故)39)(1()3(1022xxxx成立，所以当0x1时，不等式2213xxx103109x成立。由定理3知：0109)(109131313222222zyxzzzyyyxxx，当且仅当zyx时取等号。说明：(1)对给定的x0，若))(()()()(000xxxfxfxf在(a,b)上成立，f(x)在(a,b)上并不一定下凸(或上凸)；(2)x0的选择可视原不等式成立的条件而定。例3已知a，b，c0，证明：)222(29abccabcbaabccabcba证：不仿a+b+c=3，a,b,c,0，则原不等式等价于29323232333ccbbaaccbbaa.记xxxxxf323)(（0x3）在x=1处的切线为xy23，下证：当0x3时，23323xxxxx.①事实上，当373x时,032xx,0)3(2)37(323xxxxxx,故23323xxxxx，当370x时，0)83()1(233232xxxxxxx,从而当0x3时，不等式①成立，由定理3知：29)(23323232333cbaccbbaaccbbaa，等号在a=b=c=1时取到。说明：将本题的结论稍作变形，即可得出另一优美的不等式。6)21()21()21(222bacacbcba（a，b，cR），此不等式与本例的不等式均出自《中等数学》数学奥林匹克问题栏目。例4正实数a,b,c满足a2+b2+c2=1.求:222111ccbbaa的最小值.（加拿大国家集训队训练题，1989）解：令x=a2,y=b2,z=c2，则原题等价于正实数x,y,z满足x+y+z=1.求:zzyyxx111的最小值.记函数xxxf1)(（0x1）在31x处的切线方程为23)31(233xy，下证：0x1时，xx123)31(233x②事实上，当0x1时，xx123)31(233x0)43()13(2xx，从而不等式②成立，由定理3知：233233)1(233111zyxzzyyxx，即222111ccbbaa的最小值为233，当且仅当cba时取等号。例5已知,,均为锐角，且333sinsinsin1，求证：22233tantantan91证明：令333sin,sin,sinxyz，则1xyz，于是222222222sinsinsintantantan1sin1sin1sin222333222333111xyzxyz记3232()(01)1xfxxx，则32232()3(1)fxxx，现考虑3323223331219()311113(1)1399xxx,①为方便，记331,3pxq，则①223322222()13(1)1pqpqpqqq22322()(1)[24(31)(2)]0pqqppqqpq因为23222331310,20,240,10,()0qpqppqqpq，所以①式成立。从而32332233332223233313239(1)111911113(1)1399yxzxyzxyz，即22233tantantan91成立。例6已知1,,,2abcabcR，求414141abcabc的最大值。解：记1(),(0)412xfxxx，则22331448241(),()2(41)4(41)xxxfxfxxxxx，所以当1(0,]4x时，()0,()fxfx上凸，3616()4150610xxx恒成立；当11[,)42x时，13616()0,()()()41450610xfxfxfxx恒成立，即当1(0,)2x时，3616()4150610xxx恒成立。从而()()()fafbfc3613636()5021010abc，等号再a=b=c是成立。例7设a,b,c为正实数，证明：2bacacbcba证：由于齐次性，不妨设a+b+c=3，则问题等价于2333ccbbaaxxxf3)(（0x3）在5.1x处的切线方程为：321)23(32xxy，易证当0x3时，xxx323，③事实上，当0x3时，xxx3230)32(2x，从而不等式③成立。由定理3知：2)(32cbabacacbcba，但等号不能取到。例8已知a,b,c为直角或钝角三角形三边，求证：102535222222222bacacbcba证：不仿a≤bc,a2+b2+c2=3，由于已知a,b,c为直角或钝角三角形三边，故3=a2+b2+c2≤2c2，c2≥23,又a+bc0，故2(a2+b2)≥(a+b)2c2,从而3=a2+b2+c2〉23c2，c22，总之23≤c22，1a2+b2≤23。(1)记函数xxxf3)((0x3)，则2)3(3)(xxf，3)3(6)(xxf，当0x3时，0)(xf，从而函数xxxf3)(在(0，3)上下凸，所以23)2(23322222222bababbaa22326cc，故222222222bacacbcba4242222918933326ccccccc.由于424291893)(ccccg在)2,5.1[上是增函数，所以35)5.1()(2gcg，故35222222222bacacbcba，等号当且仅当a2=b2=43,c2=23时取到.(2)设a2+b2=k，则c2=3-k，1k≤1.5，由定理2知：当x(0,k)时，曲线全在直线y=kx3的下方，所以kkbbaa3332222,从而5.2392332222222222kkkkkkbacacbcba由(1)(2)本例不等式得证。说明：三个变量时，一次放缩不便时，可先考虑对两个变量的情况，这样做即起减元之用，又起调节放缩差距之用。例9已知0≤x,y,z≤1,且x+y+z=1，求证：1321111112zzyyxx.证：记)10(11)(xxxxf,易知:2321)1()1()(xxxf；)24()1()1(21)(2523xxxxf.(1)1)0(f，所以f(x)在x=0处的切线为：y=-x+1,而111xxx在0≤x≤1上恒成立，所以23)(111111zyxzzyyxx，等号在x=y=0，z=1时取到。(2)当210x时，f(x)下凹，当121x时，f(x)上凸，过(0,1)，(33,21)的曲线在210x段的弦为13632xy，f(x)在x=21处的切线为：935934xy,由函数凸性的几何意义知：当210x时，f(x)下凹，1363211xxx恒成立；当121x时，f(x)上凸，93593411xxx恒成立。由于x+y+z=1及对称性，不妨x≤y≤z。①若x,y,z中有两个数不小于21,则y=z=21,x=0,不等式右边成立；②若x,y,z中有仅个数不小于21,则z≥21,设z=t，x+y=1-t,t≥21,x,y≤21，所以)935934(2)(3632111111tyxzzyyxx)935934(2)1(3632ttt)931018(935332恒成立，记)121()931018(935332)(tttg，g(t)的最小值为132,所以不等式右边成立；③若x,y,z都不大于21,则所以13323)(3632111111zyxzzyyxx，等号在x=0，y=z=21时取到，所以不等式右边成立。综合①②③知：不等式右边成立。例10设a,b,c为正实数，证明