初中数学竞赛辅导资料20

初中数学竞赛辅导资料20第二十课乘法公式的应用例1计算：（1）（1+2）（1+22）（1+24）…（1+232）+1；（2）（19924+19923+19922+1993）×1991+1解：（1）原式=（1+2）（1+22）（1+24）…（1+232）×（1-2）÷（1-2）+1=-（1+22）（1+23）（1+24）…（1+232）+1……=1-+264+1=264（2）设x=1992，原式=（x4+x3+x2+x+1）（x-1）+1=x5=19925。例2（1988年上海市初中数学竞赛试题）已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2。解1：由x3+y3=（x+y）3-3xy×10，xy=30。x2+y2=（x+y）2-2xy=102-2×30=40解2：由x+y=10，得x2+2xy+y2=100，……①由x3+y3=100，得x2+y2-xy=10……②①-②，得3xy=90，xy=30，∴x2+y2=10+xy=40想一想例2的两个分析，哪个用的是分析法，哪个用的是综合法。例3设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2，n=c2+d2。试将mn表示成两个整数的平方和的形式。解：mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2c2+2abcd+b2d2）+（b2c2-2abcd+a2d2）=（ac+bd）2+（ac-ad）2。例4计算：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3-3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）解：设x=b+c-2a，y=c+a-2b，z=a+b-2c，∴原式=x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）=0例5设（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0。求：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5；（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5；（3）a0+a2+a4。解：（1）令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，……①（2）令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243，……②而①+②得a0+a2+a4=21（1-243）=-121练习1、填空题：（1）（32+1）（34+1）…（364+1）×8+1=；（2）（1+22+23+24+…+232）+1=；（3）若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a-b+c-d+e-f=。2、解答下列问题：（1）若a-a1=3，求（a+a1）2的值；（2）若x2-3x+1=0，求x3+31x的值；（3）若x+x1=-1，求x1000+10001x的值；（4）若x+y=1，x2+y2=2，求x7+y7的值；3、已知：（y-z）2+（x-y）2+（z-x）2=（y+z-2x）2+（z+x-2y）2+（x+y-2z）2，求)1)(1)(1()1)(1)(1(222zyxxyzxyz的值。（84年重庆市初中数学竞赛题）4、已知x-x1=2，求x3-31x+x2-2x的值。（1990年四川初中数学联赛题）5、把（x2-x+1）6展开后，得a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，求a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0的值。6、已知x1-y1=3，求yxyxyxyx2232的值。（1984年武汉初中数学竞赛试题）答案与提示1．（1）3128；（2）232-2；（3）-32（提示：令x=-1）2．（1）13；（提示：（α++a1）2=α2+21a+2，将α-a1=3两边平方得α2+21a=11）（2）18；（提示：由条件得x+x1=3，所以）x3+31x=（x+x1）3-3（x+x1）=16。）（3）-1；（提示：由条件，得x2+x=-1，x3+x2+x=0，即x3=1，∴原式=（x3）333·x+xx3333)(1=x+x1=-1）（4）71/8；（提示：由题设得xy=-1/2，x3+y3=5/2，x4+y4=7/2，∴x7+y7=（x3+y3）（x4+y4）-（xy）3（x+y）=71/8。）3、1．（提示：由题设展开、整理并配方得：（x+y）2+（y-z）2+（z-x）2=0，由非负性得x=y=z）4、10．（提示：已知两端正方，得x3-3x+x3-31x=8，所以，原式=8+（x-x1）=8+2=10）。5、365．（提示：令x=±1）6、3/5．（提示：由题设可得x-y=-3xy）