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特别策划计算题突破(三)——带电粒子在复合场中的运动(B)1.(2016·常州一模)如图所示,在xOy平面坐标系中,x轴上方存在电场强度E=1000V/m、方向沿y轴负方向的匀强电场;在x轴及与x轴平行的虚线PQ之间存在着磁感应强度为B=2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场,磁场宽度为d.一个质量m=2×10-8kg、带荷电量q=+1.0×10-5C的粒子从y轴上(0,0.04)的位置以某一初速度v0沿x轴正方向射入匀强电场,不计粒子重力.(1)若v0=200m/s,求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向.(2)要使以大小不同初速度射入电场的粒子都能经磁场返回,求磁场的最小宽度d.(3)要使粒子能够经过x轴上100m处,求粒子入射的初速度v0.2.(2016·南京三模)如图所示,在空间存在着三个相邻的电场和磁场区域,边界分别为PP'、QQ'、MM'、NN'且彼此相互平行.取PP'上某点为坐标原点O,沿PP'方向向右为x轴,垂直PP'向下为y轴建立xOy坐标系.三个场区沿x方向足够长,边界PP'与QQ'之间有+y方向的匀强电场Ⅰ,边界MM'与NN'之间有-y方向的匀强电场Ⅲ,两处电场的电场强度大小都为E,y方向宽度都为d.边界QQ'与MM'之间有垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ,磁感应强度大小为B,y方向宽度为2d.带电荷量为+q、质量为m、重力不计的带电粒子从O点以沿+x方向的初速度进入电场Ⅰ.当粒子初速度大小为v0时,粒子经场区Ⅰ、Ⅱ偏转到达边界MM'时,速度沿+x方向.(1)求粒子从O点出发后到第一次进入磁场区域Ⅱ所需时间t.(2)求v0的大小.(3)当粒子的初速度大小为v1(0≤v1v0)时,求出粒子在第一次飞出磁场之后的运动过程中,纵坐标y的最小值ymin和最大值ymax.3.(2017·南京学情调研)如图甲所示,在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,以点(3L,0)为圆心、半径为L的圆形区域,与x轴的交点分别为M、N,在xOy平面内,从电离室产生的质量为m,带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度飘入电势差为U的加速电场中,加速后经过右侧极板上的小孔沿x轴正向由y轴上的P点进入到磁场,飞出磁场后从M点进入圆形区域,速度方向与x轴夹角为30°,此时在圆形区域加如图乙所示的周期性变化的磁场,以垂直于纸面向外为磁场正方向,电子运动一段时间后从N点飞出,速度方向与M点进入磁场时的速度方向相同.(1)求电子刚进入磁场区域时的yP坐标.(2)求0≤x≤L区域内匀强磁场磁感应强度B的大小.(3)写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式.甲乙4.(2016·苏锡常镇三模)如图甲所示,在坐标系xOy平面内,y轴的左侧,有一个速度选择器,其中的电场强度为E,磁感应强度为B0.粒子源不断地释放出沿x轴正方向运动,质量均为m、电荷量均为+q、速度大小不同的粒子.在y轴的右侧有一匀强磁场,磁感应强度大小恒为B,方向垂直于xOy平面,且随时间做周期性变化(不计其产生的电场对粒子的影响),规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正,如图乙所示.在离y轴足够远的地方有一个与y轴平行的荧光屏.假设带电粒子在y轴右侧运动的时间达到磁场的一个变化周期之后,失去电荷量变成中性粒子.(粒子的重力可以忽略不计)(1)从O点射入周期性变化磁场的粒子速度多大?(2)如果磁场的变化周期恒定为了T=,要使不同时刻从原点O进入变化磁场的粒子运动时间等于磁场的一个变化周期,则荧光屏离开y轴的距离至少多大?(3)如果磁场的变化周期T可以改变,试求从t=0时刻经过原点O的粒子打在荧光屏上的位置离x轴的距离与磁场变化周期T的关系.特别策划计算题突破(三)——带电粒子在复合场中的运动(B)1.(1)Eq=ma,y=at2,t=4×10-4s.vy=at=200m/s,v2=+,tanα=,代入数据解得v=200m/s,与x轴成45°角.(2)当初速度为0时粒子最容易穿过磁场Bqvy=m,r=0.2m.要使所有带电粒子都返回电场d=0.2m.另解:Bqv=m,r=,d=r-rcosθ=-=,当v0=0时,d=0.2m.(3)对于不同初速度的粒子通过磁场的轨迹在x轴上的弦长不变x1=2rsinα=2=2=0.4m设粒子第n次经过x=100m处x1+nv0t=xn=2k+1(k=0,1,2,3,…),v0=m/sn=2k+1(k=0,1,2,3,…),x1+(n-1)v0t=xn=2k(k=1,2,3,…),v0=m/sn=2k(k=1,2,3,…).2.(1)带电粒子在电场区域Ⅰ中做类平抛运动,y方向分运动为匀加速直线运动qE=ma,d=at2,所以t=.(2)如图甲所示,带电粒子在电场中偏转,电场力做功,由动能定理qEd=mv2-m,带电粒子飞出电场时速度与x方向夹角为α,则cosα=,在磁场中,粒子由洛伦兹力提供向心力做圆周运动,得qvB=m,即r=.粒子轨迹刚好和MM'相切,由几何关系得r=rcosα+2d.综合上述四式可得v0=-.甲(3)粒子在磁场中纵坐标最大的位置与QQ'的距离Δy=r(1-cosα)=(v-v1)=(-v1)=,可见,v1越小,Δy越大,轨迹的纵坐标的最大值反而越大,所以,0≤v1v0时,粒子进入区域Ⅲ,如图乙所示,设粒子进入电场区域Ⅲ时速度与边界MM'夹角为β,乙由几何关系可知rcosβ-rcosα=2d,cosα=,cosβ=,由粒子在区域Ⅰ的运动有vy==,带电粒子进入电场Ⅲ后,y方向分运动v=--,粒子在电场Ⅲ中纵坐标最大的位置与MM'的距离Δy=d--,故ymax=3d+Δy=4d--.根据运动的对称性,带电粒子还将进入磁场Ⅱ及电场Ⅰ,并到达边界PP',故ymin=0.3.(1)电子在矩形磁场区域做圆周运动,出磁场后做直线运动,其轨迹如图所示由几何关系有R=2L,yP=L.(2)由动能定理得eU=m,可得v0=.又ev0B=,把几何关系R=2L代入解得B=.(3)在磁场变化的半个周期内电子的偏转角为60°,根据几何知识,在磁场变化的半个周期内,电子在x轴方向上的位移恰好等于R.电子到达N点而且速度符合要求的空间条件是2nR=2L,电子在磁场做圆周运动的轨道半径R=,解得B0=(n=1,2,3,…).电子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周,同时MN间运动时间是磁场变化周期的整数倍时,可使粒子到达N点并且速度满足题设要求.应满足的时间条件:T0=,又T0=,则T=(n=1,2,3,…).4.(1)因为粒子在速度选择器中运动时受力平衡qvB0=qE,所以v=.(2)带电粒子进入y轴右侧之后,在磁场中运动的半径为r==,因为磁场的变化周期恒为T=,所以粒子在该磁场中运动半个周期所转过的角度为90°,任一时刻进入y轴右侧磁场的粒子其运动轨迹如图甲所示甲为使粒子在磁场中运动满一个变化周期,荧光屏离开y轴的距离应该为x=2rsinα+2rsin(90°-α)=2rsinα+2rcosα=2rsin(45°+α),当α=45°时,x的值最大,最大值为x=2r=2.(3)因为带电粒子在两个磁感应强度大小相等的磁场中运动的时间相同,所以其轨迹具有对称性,如图乙所示.其经过一个磁场变化周期之后的速度方向与x轴平行,且此时距x轴的距离为y=2r(1-cosα),式中的α为粒子在变化的磁场中运动半个周期所转的角度其与周期T的关系为乙=,α=,所以经过一个周期之后,距x轴的距离为y=2.由于只有在y轴的右侧才有变化的磁场,所以带电粒子最大转过的角度不会超过150°,如图丙所示.即磁场的变化周期有一个最大值=,所以TTm=.丙