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第3讲机械能守恒定律一、单项选择题1.(2016·常州中学)如图所示是“过山车”玩具模型.当小球以速度v经过圆形轨道最高点时,小球与轨道间的作用力为F,多次改变小球初始下落的高度h,就能得出F与v的函数关系,下列关于F与v之间的关系中有可能正确的是()ABCD2.如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍.当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高.将A由静止释放,B上升的最大高度是()A.2RB.C.D.3.(2015·天津卷)如图所示,固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环.圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端连接在墙上,且处于原长状态.现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为L,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度),则在圆环下滑到最大距离的过程中()A.圆环的机械能守恒B.弹簧弹性势能变化了mgLC.圆环下滑到最大距离时,所受合力为零D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变4.(2015·南京、盐城一模改编)如图所示,内壁光滑的圆形轨道固定在竖直平面内,轻杆两端固定有甲、乙两小球,甲球质量小于乙球质量.将两球放入轨道内,乙球位于最低点,由静止释放轻杆后,则甲球()A.能下滑到轨道的最低点B.下滑过程中杆对其做正功C.滑回时一定能返回到初始位置D.滑回过程中增加的重力势能等于乙球减少的重力势能5.(2017·南师附中)如图所示,圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上,OC与OA的夹角为60°,轨道最低点A与桌面相切.一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m2的两个小球(均可视为质点),挂在圆弧轨道光滑边缘C的两边,开始时m1位于C点,然后从静止释放,则()A.在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等B.在m1由C点下滑到A点的过程中重力对m1做功的功率一直增大C.若m1恰好能沿圆弧下滑到A点,则m1=2m2D.若m1恰好能沿圆弧下滑到A点,则m1=3m2二、多项选择题6.(2015·汕头一模)如图,直立弹射装置的轻质弹簧顶端原来在O点,O与管口P的距离为2x0.现将一个重力为mg的钢珠置于弹簧顶端,再把弹簧压缩至M点,压缩量为x0.释放弹簧后钢珠被弹出,钢珠运动到P点时的动能为4mgx0,不计一切阻力.下列说法中正确的是()A.弹射过程,弹簧和钢珠组成的系统机械能守恒B.弹簧恢复原长时,弹簧的弹性势能全部转化为钢珠的动能C.钢珠弹射所到达的最高点距管口P的距离为7x0D.弹簧被压缩至M点时的弹性势能为7mgx07.(2016·南通、泰州、扬州、淮安二模)如图所示,小物块以初速度v0从O点沿斜面向上运动,同时从O点斜向上抛出一个速度大小也为v0的小球,物块和小球在斜面上的P点相遇.已知物块和小球质量相等,空气阻力忽略不计,则()A.斜面可能是光滑的B.在P点时,小球的动能大于物块的动能C.小球运动到最高点时离斜面最远D.小球和物块到达P点过程中克服重力做功的平均功率相等8.(2016·新课标Ⅱ卷)如图所示,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连.现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点.已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM∠OMN.在小球从M点运动到N点的过程中()A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差9.(2015·宿迁三校联考)物块A和B用绕过定滑轮的轻绳相连,A的质量为m,B的质量为2m.A穿在光滑竖直固定的长直杆上,滑轮与杆间的距离为l.将A移到与滑轮等高处由静止释放,不考虑绳与滑轮间的摩擦,则下列说法中正确的是()A.A在下降过程中加速度先变大后变小B.A刚释放时它的加速度大小等于重力加速度gC.当A在下降过程中速度达到最大时,A与B速度大小之比为2∶1D.当A的机械能最小时,B的重力势能最大三、非选择题10.(2016·泰州一模)如图所示,一压缩的轻弹簧左端固定,右端与一滑块相接触但不连接,滑块质量为m,与水平地面AB间的动摩擦因数为0.1,A点左侧地面光滑,AB的长度为5R.现将滑块由静止释放,滑块运动到A点时弹簧恢复原长,以后继续向B点滑行,并滑上半径为R的光滑圆弧BC,在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台,沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q,旋转时两孔均能达到C点的正上方.若滑块滑过C点后从P孔上升又恰能从Q孔落下,已知物体通过B点时对地面的压力为9mg.求:(1)滑块通过B点时的速度vB.(2)弹簧释放的弹性势能Ep.(3)平台转动的角速度ω应满足的条件.11.(2016·苏北四市三模)光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成,二者在B处相切并平滑连接,O为圆心,O、A在同一条水平线上,OC竖直.一直径略小于圆管直径的质量为m的小球,用细线穿过管道与质量为M的物块连接,将小球由A点静止释放,当小球运动到B处时细线断裂,小球继续运动.已知弧形轨道的半径为R=m,所对应的圆心角为53°,取g=10m/s2,sin53°=0.8.(1)若M=5m,求小球在直轨道部分运动时的加速度大小.(2)若M=5m,求小球从C点抛出后下落高度h=m时到C点的水平位移.(3)M、m满足什么关系时,小球能够运动到C点?第3讲机械能守恒定律1.C【解析】小球运动过程中,只有重力做功,机械能守恒,故mgh=mg·2R+mv2(①),在轨道最高点,重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律,有F+mg=m(②),联立①②解得F=m-mg(③),根据③式,F-v关系图象是开口向上的抛物线,C项正确.2.C【解析】设A、B的质量分别为2m、m,当B落到地面上时,A恰好运动到与圆柱轴心等高处,以A、B整体为研究对象,则A、B组成的系统机械能守恒,故有2mgR-mgR=(2m+m)v2,A落到地面上以后,B仍以速度v竖直上抛,上升的高度为h=,解得h=R,故B上升的总高度为R+h=R,选项C正确.3.B【解析】圆环在下滑过程中,弹簧对其做负功,故圆环机械能减小,选项A错误;圆环下滑到最大距离时,由几何关系可知,圆环下滑的距离为L,圆环的速度为零,由能量守恒定律可知,弹簧的弹性势能增加量等于圆环重力势能的减小量,为mgL,故选项B正确;圆环下滑过程中,所受合力为零时,加速度为零,速度最大,而下滑至最大距离时,物体速度为零,加速度不为零,所以选项C错误;在下滑过程中,圆环的机械能与弹簧弹性势能之和保持不变,即系统机械能守恒,所以选项D错误.4.C【解析】若甲球能下滑至最低点,不满足甲、乙系统机械能守恒,A项错误;甲、乙必然都经历先加速再减速的过程,在乙加速阶段说明轻杆对乙是支持力,则根据牛顿第三定律得出轻杆对甲也是支持力,轻杆对甲做负功,在甲减速阶段,轻杆对甲肯定是支持力,根据动能定理,支持力做的功肯定大于甲的重力做的功,B项错误;根据机械能守恒得出C项正确;滑动过程中系统的重力势能和动能相互转化,仅仅重力势能是不守恒的,D项错误.5.C【解析】m1由C点从静止下滑到A点的过程中,m1、m2和地球组成的系统机械能守恒,m1速度沿轻绳方向的分速度和m2速度相等,A项错误;在m1由C点下滑到A点的过程中,在C点,重力的功率为零,在A点,重力与速度方向垂直,其功率仍为零,因此重力做功的功率先增大后减小,B项错误;若m1恰好能沿圆弧下滑到A点,根据机械能守恒定律得m1gR(1-cos60°)=m2gR,解得m1=2m2,C项正确,D项错误.6.AD【解析】由机械能守恒定律的条件可知弹射过程只有重力和弹簧弹力做功,所以弹簧和钢珠组成的系统机械能守恒,故A正确;弹簧恢复原长时,弹簧的弹性势能全部转化为钢珠的动能和钢珠的重力势能,故B错误;由机械能守恒有mgh=Ek=4mgx0,解得h=4x0,故C错误;由弹簧和钢珠组成的系统机械能守恒可知Ep=7mgx0,故D正确.7.BD【解析】设斜面的倾角为α,O点到P点的距离为L,小物块沿斜面向上的加速度为a,则有L=v0t-at2,设小球的初速度与斜面的夹角为β,将小球的运动沿斜面和垂直斜面的方向进行正交分解,有L=v0cosβt-gsinαt2,两式对比有agsinα,则斜面粗糙,A项错误;小球运动过程中机械能守恒,小物块沿斜面向上运动过程中减少的机械能转化为内能,所以在P点时,小球的动能大于小物块的动能,B项正确;小球运动到速度方向与斜面平行时离斜面最远,C项错误;小球和小物块质量相等,运动到P点的过程中,上升的高度相同,时间相同,根据公式=,则克服重力做功的平均功率相等,D项正确.8.BCD【解析】小球在M点时弹簧处于压缩状态,在N点时弹簧处于伸长状态,则在由M到N过程中有一点弹簧处于原长状态,设该点为B点,另设小球在A点时对应的弹簧最短,如图所示.从M点到A点,弹簧压缩量变大,弹力做负功,从A点到B点弹簧从压缩逐渐恢复至原长,弹力做正功,从B点到N点弹簧从原长逐渐伸长,弹力做负功,选项A错误.小球在A点时,水平方向上弹簧的弹力与杆的弹力相平衡,小球受到的合外力F合=mg,故加速度a=g.小球在B点时,弹簧处于原长,杆对小球没有作用力,小球受到的合外力F合=mg,故加速度a=g,B项正确.在A点时,弹簧的弹力F弹垂直于杆,小球的速度沿杆向下,则P弹=F弹vcosα=0,C项正确.从M点到N点,小球与弹簧所组成的系统机械能守恒,则Ek增=Ep减,即EkN-0=Ep重M-Ep重N+Ep弹M-Ep弹N,由于在M、N两点弹簧弹力大小相同,由胡克定律可知,弹簧形变量相同,则弹性势能Ep弹N=Ep弹M,故EkN=Ep重M-Ep重N,D项正确.9.BCD【解析】选项A,对A分析,设绳子与竖直方向上的夹角为θ,根据牛顿第二定律得a=,拉力在竖直方向上的分力逐渐增大,先小于A的重力然后大于A的重力,所以加速度先减小后增大.故A错误;选项B,当A刚释放的瞬间,绳子的拉力方向与杆子垂直,A所受的合力等于mg,则加速度为g,故B正确;选项C,当绳子在竖直方向上的分力等于A的重力时,速度最大,此时T=2mg,有Tcosθ=mg,解得cosθ=,θ=60°,将A的速度分解为沿绳子方向和垂直绳子方向,根据平行四边形定则得vAcos60°=vB,则vA∶vB=2∶1,故C正确;选项D,因为除重力以外其他力做的功等于机械能的增量,在A运动到最低点的过程中,拉力一直做负功,则A的机械能一直减小,可知A运动到最低点时,机械能最小,此时B上升到最高,所以B的重力势能最大,故D正确.10.(1)滑块通过B点时做圆周运动有FN-mg=m,9mg-mg=m,解得vB=2.(2)滑块由静止释放到B点,利用动能定理W-μmgx=m-0,W=Ep,x=5R,所以Ep=μmg·5R+m,Ep=mgR.(3)滑块从B点开始运动后机械能守恒,设滑块到达P处时速度为vP,则m=m+mg·2R,解得vP=2.滑块穿过P孔后再回到平台的时间t==4,要想实现题述过程,需满足ωt=(2n+1)π,ω=(n=0、1、2、…).11.(1)设细线中张力为F,对小球:F-mgsin53°=ma,对物块:Mg-F=Ma,联立解得a=7m/s2.(2)在Rt△OAB中xAB=,由v2=2axAB,解得v=2m/s.从B到C,根据机械能守恒,有mv2=m+mgR(1-cos53°),小球离开C后做平抛运动,x=vCt,h=gt2,解得x=m.(3)小球A→B:M、m系统机械能守恒(M+m)v2=MgxAB-mgxABsin53°,线断后,小球B→C,vC=0,0-mv2=-mgR(1-cos53°),联立解得M≥m.