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微小专题2圆周运动的临界极值问题一、单项选择题1.(2017·徐州一中)如图所示,两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间距也为L,今使小球在竖直平面内做圆周运动,当小球到达最高点时速率为v,两段线中张力恰好均为零,若小球到达最高点时速率为2v,则此时每段线中张力大小为()A.mgB.2mgC.3mgD.4mg2.(2017·淮阴中学)如图,在一半径为R的球面顶端放一质量为m的物块,现给物块一初速度v0,则()A.若v0=R,则物块落地点离A点RB.若球面是粗糙的,当v0R时,物块一定会沿球面下滑一段,再斜抛离开球面C.若v0R,则物块落地点离A点为RD.若v0≥R,则物块落地点离A点至少为2R3.(2016·无锡一模改编)如图所示,粗糙水平圆盘上,质量相等的A、B两物块叠放在一起,随圆盘一起做匀速圆周运动.设物体间最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,则下列说法中正确的是()A.B的向心力是A的2倍B.盘对B的摩擦力等于B对A的摩擦力C.A有沿半径向外滑动的趋势,B有沿半径向内滑的趋势D.增大圆盘转速,发现A、B一起相对圆盘滑动,则A、B之间的动摩擦因数μA大于B与盘之间的动摩擦因数μB4.(2016·安徽江淮名校联考)如图所示,放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R,质量为m的带孔小球穿于环上,同时有一长为R的细绳一端系于球上,另一端系于圆环最低点,绳的最大拉力为2mg.当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时,发现小球受三个力作用.则ω可能为()A.3B.C.D.5.(2017·金陵中学)如图所示,半径为R、内壁光滑的硬质小圆桶固定在小车上,小车以速度v在光滑的水平公路上做匀速运动,有一质量为m、可视为质点的光滑小铅球在小圆桶底端与小车保持相对静止.当小车与固定在地面的障碍物相碰后,小车的速度立即变为零.关于碰后的运动(小车始终没有离开地面),下列说法中正确的是()A.铅球能上升的最大高度一定等于B.无论v多大,铅球上升的最大高度不超过C.要使铅球一直不脱离圆桶,v的最小速度为D.若铅球能到达圆桶最高点,则铅球在最高点的速度大小可以等于零二、多项选择题6.(2017·泰州中学)如图所示,两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点),静止在倾斜的匀质圆盘上,圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动,a到转轴的距离为l,b到转轴的距离为2l,物块与盘面间的动摩擦因数为,盘面与水平面的夹角为30°.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g.若a、b随圆盘以角速度ω匀速转动,下列说法中正确的是()A.a在最高点时所受摩擦力可能为0B.a在最低点时所受摩擦力可能为0C.ω=是a开始滑动的临界角速度D.ω=是b开始滑动的临界角速度7.(2016·淮安模拟)如图所示,叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动,A、B、C的质量分别为3m、2m、m,A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ,B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.下列说法中错误的是()A.B对A的摩擦力一定为3μmgB.C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力C.转台的角速度一定满足ω≤D.转台的角速度一定满足ω≤8.(2016·海安中学)如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为F,小球在最高点的速度大小为v,其F-v2图象如图乙所示.则由图中数据得出的结果正确的是()A.小球的质量为B.当地的重力加速度大小为C.v2=c时,小球对杆的弹力方向向上D.v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等9.(2016·湖南株洲模拟)如图所示,匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为2kg和3kg的小物体A、B,A、B间用细线沿半径方向相连.它们到转轴的距离分别为RA=0.2m、RB=0.3m.A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍.取g=10m/s2,现极其缓慢地增大圆盘的角速度,则下列说法中正确的是()A.小物体A达到最大静摩擦力时,B受到的摩擦力大小为12NB.当A恰好达到最大静摩擦力时,圆盘的角速度为4rad/sC.细线上开始有弹力时,圆盘的角速度为rad/sD.某时刻剪断细线,A将做向心运动,B将做离心运动三、非选择题10.(2016·无锡一模)如图所示装置可绕竖直轴O'O转动,可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点,当细线AB沿水平方向绷直时,细线AC与竖直方向的夹角θ=37°.已知小球的质量m=1kg,细线AC长L=1m,重力加速度取g=10m/s2,sin37°=0.6.(1)若装置匀速转动时,细线AB刚好被拉直成水平状态,求此时的角速度ω1.(2)若装置匀速转动的角速度ω2=rad/s,求细线AB和AC上的张力大小TAB、TAC.11.(2016·南京、盐城、连云港二模)如图所示,竖直平面内有一个轨道BCDE,其中水平光滑轨道DC长5m,在D端通过光滑小圆弧和粗糙斜轨ED相连接,斜轨倾角θ=30°,在C端和光滑半圆环BC相切,圆环半径R=1.2m.在水平轨道上某处A点斜向上抛出一个质量m=0.1kg的小物体(可视为质点),使它恰好能从B点沿切线方向进入半圆环,且能先后通过半圆环和水平轨道,最远滑到斜轨上距D点L=4m的E处.已知小物体和斜轨间的动摩擦因数μ=,取g=10m/s2.求:(1)小物体沿粗糙斜轨向上运动的时间tDE.(2)小物体切入半圆环顶端B时,圆环对小物体的压力大小F.(3)A点距C点的距离s、抛出初速度v的大小及其与水平面的夹角φ.微小专题2圆周运动的临界极值问题1.A【解析】当小球到达最高点时速率为v,两段线中张力恰好均为零,有mg=m,当小球到达最高点时速率为2v,设每段线中张力大小为F,应有2Fcos30°+mg=m,解得F=mg,选项A正确.2.D【解析】若v0=,物块将离开球面做平抛运动,由y=R=gt2/2,x=v0t得x=2R,A错误,D正确;若v0,物块将沿球面下滑,若摩擦力足够大,则物块可能下滑一段后停下来,若摩擦力较小,物块在圆心上方球面上某处离开,斜向下抛,落地点离A点距离大于R,B、C错误.3.D【解析】根据Fn=mω2r,A、B向心力大小相等,A项错误;A的向心力由B对A的静摩擦力提供,B的向心力由指向圆心的圆盘对B的静摩擦力和背离圆心的A对B的静摩擦力提供,应该是2倍关系,B项错误;A、B若要滑动,都是沿半径向外滑动的趋势,C项错误;A、B一起相对圆盘滑动,说明A、B间未达到最大静摩擦力,而圆盘和B之间已经达到最大静摩擦力,D项正确.4.B【解析】因为圆环光滑,所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力,细绳要产生拉力,绳要处于拉伸状态,根据几何关系可知,此时细绳与竖直方向的夹角为60°,当圆环旋转时,小球绕竖直轴做圆周运动,向心力由三个力在水平方向的合力提供,其大小为F=mω2r,其中r=Rsin60°一定,所以当角速度越大时,所需要的向心力越大,绳子拉力越大,所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力,此时角速度最小,需要的向心力最小,对小球进行受力分析得Fmin=mgtan60°,即mgtan60°=mRsin60°,解得ωmin=.当绳子拉力达到2mg时,此时角速度最大,对小球进行受力分析得:竖直方向FNsin30°-2mgsin30°-mg=0,水平方向FNcos30°+2mgcos30°=mRsin60°,解得ωmax=,故A、C、D错误,B正确.5.B【解析】若到达最高点速度为0,则mgh=mv2,解得h=,若小球能做完整圆周运动,最高点速度不为零,铅球能上升的最大高度小于,故A错误,B正确;要使铅球一直不脱离圆桶,有两种情况,一种是不超过圆周,则mgR=mv2,解得v=,另一种是做完整的圆周运动,故C错误;若铅球能到达圆桶最高点,则铅球在最高点必须满足mg=m,解得速度大小为v1=,故D错误.6.AD【解析】a在最高点时可能有重力沿斜面的分力提供向心力,所以所受摩擦力可能为0,故A正确;a在最低点,由牛顿运动定律f-mgsinθ=m,所以a在最低点时所受摩擦力不可能为0,故B错误;对a在最低点,由牛顿运动定律μmgcosθ-mgsinθ=mω2l,代入数据解得ω=,故C错误;对b在最低点,由牛顿运动定律μmgcosθ-mgsinθ=mω2(2l),代入数据解得ω=,故D正确.7.ABD【解析】因A、B之间的摩擦力是静摩擦力,故大小不等于3μmg,选项A错误;C与转台间的摩擦力为fC=mω2·1.5r=1.5mω2r,A与B间的摩擦力fA=3mω2·r=3mω2r,故C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力,选项B错误;对C由牛顿运动定律,当C刚好滑动时:μmg=mω2·1.5r,即ω=,故转台的角速度一定满足ω≤,选项C正确,D错误.8.ACD【解析】当小球所受弹力F方向向下时,F+mg=,解得F=-mg,当弹力F方向向上时,mg-F=m,解得F=mg-m,对比F-v2图象可知,b=gR,a=mg,联立解得g=,m=,选项A正确,B错误;v2=c时,小球对杆的弹力方向向上,选项C正确;v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等,选项D正确.9.AC【解析】增大圆盘的角速度,B先达到最大静摩擦力,所以A达到最大静摩擦力时,B受到的摩擦力大小为FB=kmBg=12N,A正确;设小物体A达到最大静摩擦力时,圆盘的角速度为ω,此时细线的拉力为T,则对A:kmAg-T=mAω2rA,对B:T+kmBg=mBω2rB,求得ω=rad/s≠4rad/s,B错误;当细线刚开始要有拉力时,对B:kmBg=mBrB,得ω1=rad/s,对A:kmAg=mArA,得ω2=2rad/s,可见B要开始滑动时A还没有达到最大静摩擦力,因此细线上开始有弹力时,圆盘的角速度为rad/s,C正确;剪断细线,A随圆盘做圆周运动,B将做离心运动,D错误.10.(1)对小于受力分析有:TACcosθ=mg,TACsinθ=mω2R,R=Lsinθ,代入数据得ω=3.54rad/s.(2)当ω2=rad/s时,ω2ω,线AB有张力.由于TACcosθ=mg,代入数据得TAC=12.5N.TACsinθ+TAB=mω2R,代入数据得TAB=2.5N.11.(1)设小物体沿斜轨向上时加速度大小为a,由牛顿第二定律和匀变速运动规律分别可以得到mgsinθ+μmgsinθ=ma,L=a,代入相关数据解得tDE=1s.(2)设小球在B点的速度为vB,受到圆环的压力为F;小物体在C点的速度为vC,对DE过程,由匀变速运动规律得vD=atDE,对CD过程,有vD=vC,对BC过程,由动能定理得mg·2R=m-m,在B点,由牛顿第二定律得F+mg=,代入相关数据解得vB=4m/s,F=N.(3)小物体从A到B的过程,可以看做是从B到A的平抛运动,设小物体抛出点A距C的距离为s,从B到A的时间为t,对AB段,由平抛运动规律有2R=gt2,s=vBt,在A点vx=vB,vy=gt,v=,tanφ=,代入数据解得A点距C点的距离s=1.6m≈2.8m,抛出的初速度大小v=8m/s,方向是斜向上与水平面夹角φ=60°.