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《天体运动与航天》竞赛指导学案1.学习思路①开普勒三大定律和万有引力定律；②两个抬头五大推导；③竞赛难度知识点概述；④实例示范。2.具体内容开普勒第一定律：行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点上。（告诉我们行星在哪里，太阳在哪里。——定性地描述了天体的位置）开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间间隔内扫过的面积相等；或：行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；（适用于作用下的两体运动模型）F万或：行星与太阳连线所扫过面积的变化率恒定。（即是适用于椭圆、抛物线及双曲线轨道）另外，行星与太阳连线在单位时间内扫过的面积（或说成面积变化率）为：0S()()20111T222abSGMbaacvacvπ===−=+远近（椭圆轨道），（意义：用来计算时间）1（从“面积守恒”的角度告诉我们行星以什么样的方式绕太阳运动）开普勒第三定律：行星椭圆轨道半长轴的三次方与行星运动周期的平方之比恒定。即：32TaK=中心天体，（24GMKπ=中心天体中心天体）万有引力定律：（表述略）表达式：2MmFGr=，（具体细节略）万有引力定律反映了：宇宙万物“因它们自身的存在”而在两体间必然会产生一种引力相互作用。抬头1：“重力”等于万有引力。（令地球质量为M，地球半径为R，地表重力加速度为）g对地球近地卫星m有：22MmmgGGMgRR=⇒=（“黄金代换”公式）⑴对地球远地卫星m有：()()222GMmRmgggRhRh′′=⇒=++h（高处的重力加速度公式）⑵抬头2：万有引力提供向心力。（仅对正圆轨道适用）（令中心天体质量为M，两体质心距离为）r（向心力公式回顾：22224TvFmmrmrrπω===向）22MmvGMFFGmvrr=⇒=⇒=万向r，（正圆轨道，环绕速度公式）⑶223MmGFFGmrrrωω=⇒=⇒=万向M，（正圆轨道，环绕角速度公式）⑷23224T2TMmrFFGmrrGππ=⇒=⇒=万向M，（正圆轨道，环绕周期公式）⑸从“能量守恒”的角度告诉我们行星以什么样的方式绕太阳运①②①中的开普勒第二定律也适用于抛物线轨道和双曲线轨道，它们都属于作用下的两体运动模型，②中的五大公式同样适用于其它作用下的两体匀速环绕模型，只是对应的物理量要作相应的改变。F万F万“两个抬头五大公式”的应用方法：分析天体运动问题时，直接从五大公式入手分析，题目提到环绕速度，则考虑用速度公式分析，提到周期，则考虑用周期公式分析等等，但是，解答题需要写出对应公式的来源过程，选择或填空就直接从五大公式着手推出结果就行。（注意：抬头2的适用条件是正圆轨道！）对于椭圆轨道中的速度公式、周期公式及引力势能公式等，在中学物理竞赛中作为功能原理、机械能守恒定律的必要知识点，竞赛标准明确了不要求知道其推导过程，所以，我们将在下面的第三个板块中直接给出这些知识点。()21vrGMra⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，⎛⎞⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎝⎠练习：计算近地点和远地点的速度、计算两天体连线所扫过面积的变化率和推导周期公式。椭圆轨道的线速度公式。3T2aGMπ=，⎛⎞⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎝⎠2()pGMmErr=−，（规定无穷远处势能为零时的引力势能公式，它对任何轨道均成立。）2GMmEa=−总，（椭圆轨道）；，（抛物线轨道）；0E=总2GMmEa=总，⎛⎞⎜⎟⎝⎠若是椭圆轨道则表示半长轴，若是正圆轨道则表示半径。aa周期公式与开普勒第三定律本质相同仅形式不同；另，r处的角速度公式复杂且不常用故略。③双曲线轨道，表示双曲线的两顶点间的距离。2a例1：（学习目标：熟悉椭圆几何知识和“开三”定律极限情况下的应用）已知地球质量为，月球质量为，地月距离为38万公里；假设月球环绕地球是做匀速圆周运动，且环绕周期为天；假想地球在宇宙空间的位置不变而月球的环绕速度突然变为零，若仅考虑地球与月球之间的万有引力相互作用，忽略地球与月球的几何形状，从月球环绕速度为零开始计时，问：经多长时间月球落到地球表面？(key:天)（例题在课堂上讲解，下同）.245.9810M=×kg227.3510kgm=×T=27.324.83yxoo′RθvvAB例2图?v=练习1：两个质量均为1.0g的质点相距10m，开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定。若两者之间只存在万有引力相互作用，问无初速释放另一个质点后，经过多长时间两者相碰？(key:)81.3610s×例2：（学习目标：熟悉椭圆几何知识和“开二”定律的应用）如题图，从一个半径为R的均质球形行星表面发射并回收火箭，若回收时火箭速度与发射时的速度方向平行，且发射点与回收点对行星中心的夹角为θ；另外，若已知该行星的近地卫星的公转周期为0T：火箭在空中飞行的时间？火箭离开行星表面的最大距离？练习2，求：（练习“开二”定律和机械能守恒的应用）如题图，在宇宙空间，有一例及“开二”定律的颗远离太阳的彗星以速度0v趋向太阳运行，太阳到彗星运动方向的垂直距离为d，求彗星在绕太阳运动过程中的最大速度和最小距离。3：（学习目标：熟悉抛物线的几何知识、能量守恒的应用应用）设地球绕太阳的运动是速率为0v的匀速圆周运动，轨道半径为0R，若有一颗彗星在太阳的引力作用下沿着某条抛物线轨道运动，此抛物线与地球轨道的两个交点在地球圆轨道直径的两端，如题图所示，不计彗星与地球的相互作(1)彗星轨道的抛物线方程；key:d0v太阳彗星练习2图用，试求：()20022xRyR=−−.(2)若彗星的总机械能为零，求彗星的最大速度；key:02mvv=.(3)彗星在地球轨道内运动的时间。key:()23tπ=年.彗星抛物线的焦点上(即解例3：(1)依题意，如图3-1，因太阳在轨道o点处)，yBCA故抛物线的通径正好是地球圆轨道的直径AC，所以彗星抛物线的轨迹方o程为02022RxRy⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠.①x0R图3-13数学知识：若抛物线的方程写为2xcy=⋅(c是正的常数)，则c等于该抛物线的通经长度，顶焦距(顶点到焦点的距离)等于1/4通经长。①式是根据这一知识点并考虑到抛物线的开口问题和坐标平移而得到的。(2)彗星在近日点B时有最大速度彗星抛物线上顶点到焦点的距离，它与通径AC的关系是mv，是oB1oBAC=，即是402RoB=，而引力势能为pGMmE=−(r表示彗星m到太阳M的距离)，所以彗星在rB处的引力势能可以写为02pBGMmER=−，②彗星在B处的动能直接表示为212kBmEmv=，③星运动到无穷远处时速度为零，而规定无穷远处引力势能为零，又因认为彗星与太阳构成的系统无外力和内非保守力做功，故彗星在因彗星以抛物线轨道运动，故彗B所以彗星的总机械能守恒且为零，处的总机械能也为零，写为，即是EE+=，把②式和③式代入计算可得0E=0pBkB02mvGMR=，④而地球环绕太阳运动的速率可以表示为00vGMR=，所以彗星的最大速度为02mvv=，⑤(3)彗星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积（面积变化率）为00000001222442BmRRRRvSvvv=⋅⋅=⋅=⋅=，⑥彗星在地球轨道内运动时，彗星与太阳连线扫过的面积为200022232R3ABCoARSR=⋅⋅=，⑦由⑥和⑦及0ABCoAStS=可得0043Rtv=，⑧地球环绕太阳运动时，其公转周期为0021=Rvπ年，⑨由⑧和⑨可得3tπ=2年，⑩轨道半径为R例4：设地球绕太阳做匀速圆周运动，，环绕速率为；若有一颗彗星在太阳的引力作用下沿着某条抛物线轨道运动，若此抛物线恰好与地球轨道相切，如图，不计彗星与地球的相互作用，试0v4-1求：(1)彗星轨道的抛物线方程；(2)求彗星的最大速度；(3)求彗星从A经过B到C所化的时间.oy解：（1）由抛物线的知识及开普勒第一定律可得抛物线的方程为()24xRyR=−−，（1）RABCxB（2）彗星在时速度最大，由于彗星的轨道时抛物线，所以彗星的图4-1机械能为零，即是210mGMmmvR−=，（2）2022mGMvvR==4由（2）式可得，（3）（3）点与点关于轴对称，它们的纵坐标为CyR−A，把yR=−代入（1）式可得22xR=±，所以彗星从A到过程中，彗星与太阳连线扫过的面积为C经过B22114224202R323SRRRR=××−××=，（4）彗星与太阳连线在单位时间内扫过的面积为000112222mvRSvRvR=××=××=，（5）应用开普勒第二定律，由（4）式和（5）式可得200033SvRv102220SRRt==×=，（6）另外有021Rvπ=年，（7）式可（7）103tπ=年，（8）由（6）式和得2，是否会利用运行速度及对应的几何关系写出面积变化率的表达式，从而可以利用利用面积变化率来求运行时间；学习反思：1，是否学会利用极限思维使用“开三”定律；3，是否会根据机械能守恒列方程。