中山市2011年3月20日九年级数学竞赛试题(含答案)

AEDBCA第3题图CBA中山市2011年初三数学竞赛试题(竞赛时间：2011年3月20日上午9：30-11：30)题号一二三总分合分人复查人1～56～1011121314得分评卷人一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题有且只有一个选项是正确的.请将正确选项代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．下列说法错误的是(A)A.22是分数Ｂ.2是无理数C.327是有理数D.16的平方根是22．抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为223yxx，则bc、的值为（B）A．22bc，B．20bc，C．21bc，D．32bc，3．如图，等边三角形ABC的边长为3，D、E分别是AB、AC上的点，且2ADAE，将ADE△沿直线DE折叠，点A的落点记为A，则四边形ADAE的面积1S与ABC△的面积2S之间的关系是（D）A．1212SSB．1278SSC．1234SSD．1289SS第4题图4．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（C）A．90°B．60°C．45°D．30°5．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，线段MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（D）////////////////////////////////////////////密封线内不要答题///////////////////////////////考号姓名学校（A）l1与l2之间的距离为2（B）433MN（C）若MN与⊙O相切，则∠MON＝90°（D）若MN与⊙O相交，则3AM二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个密码箱的密码,每个数位上的数都是从0到9的自然数,若要使不知道密码的人一次拨对密码的概率小于12011,则密码的位数至少需要4位．7．已知非负数abc，，满足条件75abca，，设Sabc的最大值为m，最小值为n，则mn的值为7．8．已知二次函数221yxaa（a为常数），当a取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a，0a，1a，2a时二次函数的图像.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是xy12.（第8题图）（第9题图）9．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形11OABC的对角线1AC和1OB交于点1M，以11MA为对角线作第二个正方形2121AABM，对角线11AM和22AB交于点2M；以21MA为对角线作第三个正方形3132AABM，对角线12AM和33AB交于点3M；……依此类推，这样作的第n个正方形对角线交点nM的坐标为nn11122(,)．AMl1l2BNO110．如图，一次函数yaxb的图像与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数kyx的图像相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④ACBD．其中正确的结论是①②④．（把你认为正确结论的序号都填上）（第10题图）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．设关于x的方程0212482axaxx恰有两个实根.求实数a的取值范围.解：原方程变形为.0)2(2442axax……………………………（5分）令).0(4yxy则0)2(22aayy0)2)](2([yay,2),2(21yay……………………………（10分）即x4a2()或.24x故原方程恰有两实根2)2(a或)2(a＜0.……………………………（15分）因此，4a或a＞-2……………………………（20分）12．已知a、b、c是三角形的三边长,实数p、q满足1qp.判断代数式222pqcqbpa的符号并写出理由.解：令.222pqcqbpay将pq1代入上式得222)1()1(cppbppay.)(222222bpcbapc……………………………（5分）将上式视为关于p的二次函数，图像开口向上，则.4)(222222cbcba])(][)([2222cbacba).()()()(cbacbacbacba……………………………（10分）由于a、b、c是三角形三边，则有cba＞0，cba＞0,cba＞0，cba＜0,……………………………（15分）yxDCAB222FE于是,＜0y＞0.……………………………（20分）13．在凹四边形ABCD中，∠A=∠C=o40，∠B=o50，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.判断四边形EFGH的形状并证明你的结论.解：四边形EFGH是矩形.………………（5分）如右图，联结AC、BD.由三角形中位线定理得,21//BDEH.21//BDFG则.//FGEH故四边形EFGH是平行四边形.……………………………（10分）由∠BAD+∠ABC=o90,∠BCD+∠ABC=o90,得AD⊥BC,CD⊥AB.于是,D是△ABC的垂心,BD⊥AC.……………………………（15分）又GH∥AC,则BD⊥GH.从而,FG⊥GH.故四边形EFGH是矩形.……………………………（20分）14.对于每个正整数n，设)(nf表示1+2++n的末位数字（如,1)1(f,3)2(f6)3(f），试计算)2011()2()1(fff的值。解：易证任意连续20个正整数之和的末位数字为0，……………………………（5分）所以，).()20(nfnf……………………………（10分）从而只需计算从1至20所对应的),(nf如下表：n12345678910)(nf1360818655n11121314151617181920)(nf6815063100,70)20()2()1(fff……………………………（15分）因为11100200112则)0112()2()1(fff=)11()2()1(10070fff=7000+46=7046.……………………………（20分）