上海科技版数学九年级上册23.1锐角三角函数的性质同步练习（含解析）

锐角三角函数的性质同步练习1、如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（）A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°2、已知sinα＜cosα，那么锐角α的取值范围是（）A．30°＜α＜45°B．0°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜90°3、如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB=m，则m的取值范围是（）A．0＜m≤43B．0＜m≤54C．21＜m＜43D．0＜m≤534、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：3，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）A．30.6B．32.1C．37.9D．39.45、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（）米．A．1.2B．1.1C．0.8D．2.26、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6tan18°cmB．18tan6cmC．6sin18°cmD．6cos18°cm7、如图，斜坡AB的坡度i=1：2，坡脚B处有一棵树BC，某一时刻测得树BC在斜坡AB上的影子BD的长度为10米，这时测得太阳光线与水平线的夹角为60°，则树BC的高度为米．8、某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：3的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是42米．那么新传送带AC的长是米．9、若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=cossin．其中正确命题的序号是．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）10、（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“=”“＜”号），若α=45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．11、太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．12、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由参考答案1、解析：由sin30°=21=0.5，sin45°=22≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．解：∵sin30°=21=0.5，sin45°=22≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，∴30°＜A＜45°．故选B2、解析：首先根据正余弦的转换方法，得：cosα=sin（90°-α），又sinα＜cosα，即sinα＜sin（90°-α），再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．解：∵cosα=sin（90°-α），∴sinα＜cosα=sin（90°-α）．又正弦值随着角的增大而增大，得α＜90°-α，∴α＜45°．又α是锐角，则α的取值范围是0°＜α＜45度．故选B．3、解析：点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB=m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD=DB=21AB=3，OD=OA-AD=5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D=2235=4，则AE=22OEOA=45，再作BC⊥AE于C．由S△AOE=21OA•OE=S△BOE+S△ABE，求出BC=556，CE=53620=558，那么m的最大值为43558556CEBC．解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．作O′D⊥AB于D，则AD=DB=21AB=3，∵OA=8，∴OD=OA-AD=5，∴O′E=O′A=OD=5，即⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D=O′D=2235=4，∴OE=O′D=4，∴AE=22OEOA=45，，作BC⊥AE于C．∵S△AOE=21OA•OE=S△BOE+S△ABE，∴21×8×4=21×2×4+21×45×BC，∴BC=556，∵BE2=OB2+OE2=22+42=20，∴CE=53620=558，，∴m的最大值为43558556CEBC，又∵m＞0，∴0＜m≤43故选A4、解析：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=3x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=63米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=63+20（米），即可得出大楼AB的高度．解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：3，∴BH：CH=1：3设BH=x米，则CH=3x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（3x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=63米，∴BG=GH-BH=15-6=9（米），EG=DH=CH+CD=63+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°-45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=63+20（米），∴AB=AG+BG=63+20+9≈39.4（米）；故选：D5、解析：过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，可得MN=EF，然后设ME=FN=x，分别在Rt△GME和Rt△NHF中表示出GM和HN的长度，最后根据GH=6米，列出方程求出x的值．解：过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在Rt△GME中，∵斜坡AD的坡度为1：1.2，∴ME：GM=1：1.2，∴GM=1.2x，在Rt△NHF中，∵斜坡BC的坡度为1：0.8，∴NF：NH=1：0.8，∴NH=0.8x，则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1．故选B．6、解析：根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度．解：由已知图形可得：tan18°=6h，木桩上升的高度h=6tan18°cm．故选：A．7、解析：根据题意首先利用勾股定理得出DF，DE的长，再利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出答案．解：过点D作DF⊥BG，垂足为F，∵斜坡AB的坡度i=1：2，∴设DF=x，BF=2x，则DB=10m，∴x2+（2x）2=102，解得：x=25，故DE=45，BE=DF=25，∵测得太阳光线与水平线的夹角为60°，∴tan60°=DEEC=54EC=3，解得：EC=415，故BC=ED+BE=25+415（m），故答案为：25+4158、解析：根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD=45°，∴AD=BD，∵AB=42，∴AD=BD=ABsin45°=42×22=4，∵坡度i=1：3，∴DCAD=DC4=31，则DC=43，故AC=22DCAD=8（m）．故答案为：8．9、解析：根据锐角三角函数正弦值随角度的增大而增大，以及正弦余弦值与各边关系即可得出答案．解：∵sinα＜sinβ，则α＜β；故此选项正确；②若α+β=90°，则sinα=cos（90°-α）=cosβ，∴故此选项正确；③存在一个角α，sinα=斜边对边，∴sinα≤1，∴sinα=1.02，故此选项错误；④tanα=cossin．根据对应边之间关系得出，故此选项正确．故答案为：①②④．10、解析：（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．解：（1）在图中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC=111ABCB，sin∠B2AC=222ABCB，sin∠B3AC=333ABCB，而111ABCB＞222ABCB＞333ABCB，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图中，Rt△ACB3中，∠C=90°，cos∠B1AC=1ABAC，cos∠B2AC=2ABAC，cos∠B3AC=3ABAC，∵AB3＞AB2＞AB1，∴1ABAC＞2ABAC＞3ABAC．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．（2）由（1）可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．（3）若α=45°，则sinα=cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．故答案为：=，＜，＞．11、解析：过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到CH=90，在Rt△EFH中，根据三角函数的定义即可得到结论．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×21=25，∵GD=50-30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，在Rt△CDH中，CH=30sinCD=2CD=90，∴EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290，在Rt△EFH中，EF=EH•tan30°=290×33=33290，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，33290cm12、解析：（1）由新坡面的坡度为1：3，可得tanα=tan∠CAB=31=33，然后由特殊角的三角函数值，求得答案；（2）首先过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：3．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．解：（1）∵新坡面的坡度为1：3，∴tanα=tan∠CAB=31=33，∴∠α=30°．答：新坡面的坡