精解物理奥赛中的抛体问题

10vxyαo•vxvyvSsθvθ(),Axy00sincosyxvvgtvvαα=−=Aiii(图1-1)Svv⊥v90svθ°(图1-2)Svv⊥v90svθ°(图1-3)QP精解物理奥赛中的抛体问题（部分）求解抛体运动的一般方法：法一，把抛体运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动来求解；法二，建立以水平方向为x轴，竖直方向为y轴的直角坐标系，利用抛体运动的轨迹方程求解；法三，建立适当直角坐标系，把抛体运动在两坐标轴上分解后列方程求解；法四，使用运动的相关定性知识点并结合前面三种方法求解。1.《新编高中物理奥赛题典》13页16题：最大与地面成什么角度抛出石子，才能使石子在运动过程中始终远离抛出点？（不计空气影响）解：(法一)如图1-1，设石子被抛出的初速度为0v，抛射角(初速度与水平方向的夹角)为α；如图1-2和1-3，把速度v分解为垂直于位移和平行于位移的两个分速度，其中，a.当位移S与速度v的夹角小于90°时，平行于位移的分速度与位移同向，故位移大小将会进一步增大，如图1-2；b.当位移S与速度v的夹角大于90°时，平行于位移的分速度与位移反向，故位移大小将会进一步减小，如图1-3；c.当位移S与速度v的夹角等于90°时，平行于位移的分速度为零，这一时刻是位移由大变小的临界点.由以上a、b和c的讨论可知，当位移S与速度v的夹角90svθ≤°时，石子始终远离抛出点；在小球从抛出点o运动到顶点P的过程中，显然，90svθ≤°恒成立，即小球始终远离抛出点；在小球从顶点P开始以后的运动过程中，要使90svθ≤°成立，则要求vsθθ≥（从图1-1可推知），即有tantanvsθθ≥，也即是22000002cossin2tantansincosyxvsxyvtgtvvvtgtygtvxvtvtvααθθαα⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟==≥===⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠，即2002220000000011sinsincoscos223sin20sincossincosvtgtvgtvvgtgvtvgtvvtgtvvααααααααα−−≥⇒≥⇒−+≥−−，(1)(1)式是关于t的一元二次不等式，其成立的条件是关于t的一元二次方程222003sin20gtgvtvα−+=的判别式0Δ≤，即222222009sin80sin89gvgvαα−≤⇒≤，又因α为锐角，故arcsin89α≤.解：(法二)以抛出点为原点o，水平方向为x轴，竖直向上为y轴建立笛卡尔坐标系（即直角坐标系）；因石子在水平方向上不受外力作用，故石子在水平方向上做匀速直线运动，即在x上有xxvt=，即是0cosxvtα=，(1)20vxyαoSi(图1-4)1s2sβ因石子在竖直方向上只受重力作用，故石子在该方向做竖直上抛运动，即在y上有2012yyyvtat=+，即201sin2yvtgtα=−(显然是以y轴正向为正方向)，(2)联解(1)和(2)可得到石子斜抛的轨迹方程为2220tan2cosgyxxvαα=−，(3)如图1-1，“石子始终远离抛出点”这一条件等价于“轨迹上任意点(),Axy到原点()0,0o的距离l是关于x或y的增函数”，即是22lxy=+是关于x或y的增函数，考虑到(3)式可以得到2222223422223440001sintan2coscoscos4cosggglxxxlxxxvvvαααααα⎛⎞=+−⇒=−+⎜⎟⎝⎠，()()()()()2222223242400sin1tan1tan1tancos4ggLxlxxxxvvααααα⇒==+−+++，(4)在(4)式中，应用了222221cossin1tancoscosααααα+==+；在(4)式中，()Lx是增函数的条件是：函数()Lx对x的一阶导数大于等于零（等于零是临界点），即是()()()()()222222324003sin21tan1tan1tan0cosdggLxLxxxxdxvvααααα′==+−+++≥,即有:()()222224003sin1tan21tan0cosggxxxvvαααα⎡⎤+−++≥⎢⎥⎣⎦,在该问题中，x恒大于零，故有()222224242200003sin3sin1tan2020coscoscosggggxxxxvvvvαααααα+−+≥⇒−+≥，(5)(5)式成立的条件是关于x的一元二次方程22422003sin20coscosggxxvvααα−+=的判别式小于等于零，即是222242003sin840coscosggbacvvααα⎛⎞Δ=−=−≤⎜⎟⎝⎠，即是2sin89α≤，又因α为锐角，故arcsin89α≤.解：(法三)如图1-1，设石子被抛出的初速度为0v，抛射角为α，把石子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，如图1-4，因10svt=，222sgt=，由余弦定理可得22212122cossssssβ=+−，即是()()()22224200422cos90svtgtvtgtα=+−⋅°−即得()224322004cos90sgtgvtvtα=−°−+，“石子始终远离抛出点”这一条3件等价于函数()()24322001cos904Ltgtgvtvtα=−°−+是增函数，即是要求()0Lt′≥，即是()()()232222200003cos90203cos9020gtgvtvttgtgvtvαα−°−+≥⇒−°−+≥，因0t，故有()()22222222200003cos9020409cos9080gtgvtvbacgvgvαα−°−+≥⇒Δ=−≤⇒°−−≤，即是()22cos9089sin89αα°−≤⇒≤，又因α为锐角，故arcsin89α≤.2.《新编高中物理奥赛题典》15页19题：一枪从同一地点发出两颗子弹，发射的时间间隔为tΔ，若两子弹在同一平面内运动，证明两子弹相遇的条件是()()12012sin22cos2gtvαααα−⎡⎤Δ⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦，其中，1α、2α是两次发射子弹的仰角，0v是发射的初速度，如图2-1。证：(法一)依题意，仰角为1α的子弹先发射，仰角为2α的子弹后发射，从以仰角1α发射子弹时开始计时，当两子弹相遇时，两子弹在水平方向上和竖直方向上的位移分别相等，即是在x上：()()()120102coscosxxvtvttαα=⇔=−Δ，221coscoscosttαααΔ⇒=−；121coscoscostttαααΔ−Δ=−(1)在y上：()()()()2212010211sinsin22yyvtgtvttgttαα=⇔−=−Δ−−Δ，(2)把(1)式代入(2)式计算得到()()()()222211010221212121222221012021212101coscoscoscossinsin,coscos2coscoscoscos2coscoscoscos11sincossincos,2coscos2coscossincosttttggvvttvtgvtgvtααααααααααααααααααααααααα⎛⎞⎛⎞ΔΔΔΔ−=−⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠ΔΔ⇒Δ−=Δ−−−⇒Δ()()()()()()()()()()2222122121121212012012121200121212coscos1sincos,2coscossinsincoscos,2coscos22sin2cos2sin2,222cos2cos2cos2gtgtgtvvgtgtvvααααααααααααααααααααααααααα−−=Δ−−ΔΔ⇒−=+⇒=+−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤ΔΔ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⇒=⇒=+−+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证毕.证：(法二)依题意，仰角为1α的子弹先发射，仰角为2α的子弹后发射，从以仰角1α发射子弹时开始计时，当两子弹相遇时，两子弹在水平方向上和竖直方向上的位移分别相等，即是i0v0v2α(),Mxyo图2-1x1αy1α2αOMOAsOBsAMsBMsAB⋅图2-24在x上:()()()120102coscosxxvtvttαα=⇒=−Δ221coscoscosttαααΔ⇒=−,121coscoscostttαααΔ−Δ=−.(1)斜抛运动可以被分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直向下方向的自由落体运动，如图2-2，当第一颗子弹到达相遇点(),Mxy时，它的实际位移（合位移）OMOAAMsss=+，显然，0OAsvt=，212AMsgt=；当第二颗子弹到达相遇点(),Mxy时，它的实际位移（合位移）OMOBBMsss=+，显然，()0OBsvtt=−Δ，()212BMsgtt=−Δ.如图2-2，在三角形OAB中，由余弦定理有()222122cosABOAOBOAOBαα=+−⋅⋅⋅−，因为()221122AMBMABssgtgtt=−=−−Δ；0OAOAsvt==；()0OBOBsvtt==−Δ，所以()()()()()()22222000012112cos22gtgttvtvttvtvttαα⎡⎤−−Δ=+−Δ−−Δ−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，(2)把(1)式代入(2)式整理得到()2222121212202010201122121212122coscos112coscos2coscoscoscoscoscos2coscoscoscoscoscoscoscoscos14coscosttggvtvtvtvttgααααααααααααααααααααα⎡⎤⎛⎞⎛⎞ΔΔ⎢⎥−⎜⎟⎜⎟−−⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ΔΔΔΔ=+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠Δ⇒−()()()()42222112202010201122121212142222212120212coscoscoscoscoscos2coscoscoscoscoscoscoscoscos1coscoscoscos4coscoscosvtvtvtvtgtvαααααααααααααααααααααααα⎛⎞−⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ΔΔΔΔ=+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞Δ⇒+−⎜⎟−⎝⎠=()()()()()()()2212112212121212222021222112122221121212coscoscos2coscoscoscoscoscoscoscoscos4coscoscoscos2coscoscoscoscoscoscoscoscosgtvααααααααααααααααααααααααααααα⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⇒Δ+=+−−=+−++−−⎡⎤⎣⎦=()()()()()()()()()()()()22221121212222211212222222112122122222202112coscoscoscoscoscoscos2cos22coscoscos2cos12cos12cos1cos4coscossingtvαααααααααααααααααααααααααα+−+−−−=+−+−−⎡⎤=+−−+−−−⎣⎦=−−⇒Δ+=−55mi0vl40m25m图3-1Ahi0vlsH图3-2θBvB45°C()()()()()()()()()()()()0211201221121212001212122coscossin2sincoscos2sin2cos2sin2,222cos2cos2cos2gtvgtvgtgtvvαααααααααααααααααααα⇒Δ+=−⇒Δ=−+−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤ΔΔ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⇒=⇒=+−+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证毕。3.《新编高中物理奥赛题典》14页18题：如图3-1所示，一仓库高25m，宽40m，今在仓库前ml、高5m的A处抛一石子，使石子抛过屋顶。问l多大时，初速度0v的值最小？（不计空气影响，210gms=）解：（法一）用到结论：在水平地面上以初速度0v抛出物体，当抛射角为45°时物体被抛出的水平距离最远。或表述为：要把物体从地面上抛出一定的