第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类-2015)

第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2015）一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sinsinsinlim12nnnnnnnn.（2）设函数,zzxy由方程,0zzFxyyx所决定，其中,Fuv具有连续偏导数，且0uvxFyF。则zzxyxy.（3）曲面221zxy在点1,1,3M的切平面与曲面所围区域的体积是.（4）函数3,5,00.0,5xfxx在5,5的傅立叶级数在0x收敛的值是.（3）设区间0,上的函数ux定义域为的20xtuxedt，则ux的初等函数表达式是.二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三、（12分）设fx在,ab内二次可导，且存在常数,，使得对于,xab，有fxfxfx，则fx在,ab内无穷次可导。四、（14分）求幂级数30211!nnnxn的收敛域，及其和函数。五、（16分）设函数fx在0,1上连续，且11000,1fxdxxfxdx。试证：（1）00,1x使04fx（2）10,1x使14fx五、（16分）设,fxy在221xy上有连续的二阶偏导数，且2222xxxyyyfffM。若0,00,0,00,00,xyfff证明：221,4xyMfxydxdy。