第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)+答案

第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1)xxxxxx222220sincossinlim解：xxxxxx222220sincossinlim4222220cossinlimxxxxxxx2040)cos1)(cos1(lim))(sin(sinlimxxxxxxxxxx22126132(2)61311tan21limxexxxxx解：61311tan21limxexxxxx（令xt1）362201)tan21(limttettttt3620111)21(limttettt3201)21(limtettt2206)22(limtetttt(3)设函数),(yxf有二阶连续偏导数,满足0222yyyxyyxyyxfffffff且0yf,),(zxyy是由方程),(yxfz所确定的函数.求22xy解：依题意有，y是函数，x、z是自变量。将方程),(yxfz两边同时对x求导，xyffyx0，则yxffxy，于是yxffxxy222)()(yyyyxxyxxxyfxyfffxyfff2)()(yyxyyyxxyxyxxxyfffffffffff3222yyyyxyyxyyxffffffff0(4)求不定积分dxexxIxx111解：dxexxdxeIxxxx12111xxxxxdedxe11xxxed1Cxexx1(5)求曲面azyx22和222yxaz)0(a所围立体的表面积解：联立azyx22，222yxaz，解得两曲面的交线所在的平面为az，它将表面分为1S与2S两部分，它们在xoy平面上的投影为222:ayxD，在1S上dxdyayaxdS2222441dxdyayxa2222)(4在2S上dxdyyxyyxxdS2222221dxdy2则dxdyayxaSD)2)(4(222222202024ardrarada)26155(2a二、（本题13分）讨论dxxxxx220sincos的敛散性，其中是一个实常数.解：记xxxxxf22sincos)(①若0，)1(2)(xxxf；则dxxxxx220sincos发散②若20，则11，而)1(2)(1xxxf；所以dxxxxx220sincos发散。③若2，即dxxfannn)()1(，考级数nna1敛散性即可当)1(nxn时，xnnxfxnn22sin1)1()(sin)1(1对任何0b，我们有xbdxnn2)1(sin1xbdx220sin12xbxd220csccot22012tbdt1b这样，存在210AA，使得122121nAanAn.从而可知，当4，时，所讨论的积分收敛，否则发散。三、（本题13分）设)(xf在),(上无穷次可微，并且满足:存在0M，使得Mxfk)()(，),(x，),2,1(k,且0)21(nf，),2,1(n求证：在),(上，0)(xf证明：因为)(xf在),(上无穷次可微，且Mxfk)()(),2,1(k，所以nnnxnfxf!)0()()(1（*）由0)21(nf，),2,1(n，得0)21(lim)0(nnff，于是021)0()21(lim)0(nnnfff由罗尔定理，对于自然数n在]21,21[1nn上，存在)21,21(1)1(nnn，使得0)()1(nf),2,1(n，且)(0)1(nn这里)1(1n)1(n)1(3)1(2)1(1在],[)1(n)1(1n),2,1(n上，对)(xf应用罗尔定理，存在),()1(n)1(1)2(nn，使得0)()2(nf),2,1(n，且)(0)2(nn于是0)0()(lim)0()2(n)2(nfffn类似的，对于任意的n，有0)0()(nf有（*）nnnxnfxf!)0()()(10四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）设D为椭圆形12222byax)0(ba，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点），0(c(其中222bac)垂直于薄板的旋转轴.1.求薄板D绕l旋转的转动惯量J；2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.解：1.dxdyycxJD22)(dxdyyccxxD2222dxdycyxD222120,1:22221xbyaxDabrdrcrbrad2222222100sincos42abcba)22214122141(4222)35(4122baab2.设J固定，)(abb是)35(4122baabJ确定的隐函数，则232395153)(abababab，对)(aabS关于a求导，)()()(abaabaS222395153bababb五、（本题12分）设连续可微函数(,)zfxy由方程(,)0Fxzyxyz（其中(,)0Fuv有连续的偏导数）唯一确定,L为正向单位圆周.试求：22(2)(2)LIxzyzdyxzyzdx解：由格林公式22222(2)(2)()(22)(22)22()2()LDDDQPIxzyzdyxzyzdxdxyzzzzzzzxzyxzyzdzxzyxyzdxxyyxy又：连续可微函数(,)zfxy由方程(,)0Fxzyxyz两边同时对x求偏导数：121221()(1)0zFFzzzFzxFyxxxyFxF两边同时对y求偏导数：121212(1)()0FzFzzzFxFzyyyxxFyF代入上式：2121221122221212121221122222212121221212122()2()2()222DDDDDzFFFzFIzxzyxyzdyFxFxFyFxzFxzFyzFyFxFxzFyzFyzFzdyFxFxFyFxzFyFxFyzFxFyFzyFxFzdzdyFxFyFxFd六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）(1)求解微分方程2(0)1xyxyxey(2)如()yfx为上述方程的解，证明1220lim()12nnfxdxnx21220lim1xnnedxnx222222211110220001012100arctanarctan2arctan1arctanarctan2[0,1]arctanarctanarctanarctanarctan(1)arctanxxxxxxxnedxednxenxxenxdxnxennxedxennedxenneenen其中21220lim=lim[arctan(1)arctan][0,1]1=(1)222xnnnedxenennxee其中