新-2010年上海市新知杯初中数学竞赛试题

2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2010年12月12日上午9:00~11:00）题号一（1~10）二总分11121314得分评卷复核解答本试卷可以使用计算器一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1.已知31xx，则10551011xxxx_________。2.满足方程33222yxyx的所有实数对yx，为__________。3.已知直角三角形ABC中，3690CABCC，，，CD为C的角平分线，则_________。4.若前2011个正整数的乘积201121能被k2010整除，则正整数k的最大值为________。5.如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。yxMNOCBA6.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。7.整数qp，满足2010qp，且关于x的一元二次方程0672qpxx的两个根均为正整数，则p________。8.已知实数cba，，满足0cbacba，且0a。设21xx，是方程02cbxax的两个实数根，则平面直线坐标系内两点1221xxBxxA，，，之间的距离的最大值为_______。9.如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。10.设cba，，是整数，91cba，且1cabbcaabc能被9整除，则cba的最小值是_________，最大值是__________。OGFEHDCBAQPEDCBA二、解答题（每题15分，共60分）11.已知面积为4的ABC的边长分别为bccABbCAaBC，，，，AD是A的角平分线，点'C是点C关于直线AD的对称点，若BDC'与ABC相似，求ABC的周长的最小值。12.将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数cfibehghidefabc，，，，和aei都能被11整除，求三位数ceg的最大值13.设实数zyx，，满足0zyx，且2222xzzyyx，求x的最大值和最小值14.称具有22161ba形式的数为“好数”，其中ba，都是整数（1）证明：100，2010都是“好数”。（2）证明：存在正整数yx，，使得161161yx是“好数”，而yx不是“好数”。ihgfedcbaC'CDBA