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第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解5、如图所示，有一河面宽L=1km，河水由北向南流动，流速v=2m/s，一人相对于河水以u=1m/s的速率将船从西岸划向东岸。（1）若船头与正北方向成α=30°角，船到达对岸要用多少时间？到达对岸时，船在下游何处？（2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？（3）若要使船相对于岸划行的路程最短，船头应与岸成多大的角度？到达对岸时，船在下游何处？要用多少时间？（1）船头与正北方向成15°角，船到对岸花多少时间？何处？（2）要求时间最短，船头与河岸应多少度？最短时间多少？到岸时，处于何处？已知水流速度V＝2m/s，船在静水中的速度是V`＝1.5m/s，河宽S＝1千米＝1000米（1）当船头与正北方向成15°角时，把静水中的航速V`正交分解在平行河岸与垂直河岸方向，垂直河岸方向的速度分量是V`1＝V`*sin15°＝1.5*sin15°＝1.5*根号[(1－cos30°)/2]＝0.388m/s平行河岸方向的速度分量是V`2＝V`*cos15°＝1.5*cos15°＝1.5*根号[(1＋cos30°)/2]＝1.45m/s船过河所用时间是t1＝S/V`1＝1000/0.388＝2575.8秒＝42.93分钟在沿河岸方向的总速度是V岸＝V－V`2＝2－1.45＝0.55m/s在这段时间内，船向下游运动距离是L1＝V岸*t1＝0.55*2575.8＝1416.7米＝1.42千米即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.42千米远的对岸处。（2）要求时间最短，船头的指向必须与河对岸垂直，即船头与河岸应90度。最短时间是t短＝S/V`＝1000/1.5＝666.67秒＝11.11分钟在这段时间内，船向下游运动的距离是L＝V*t短＝2*666.67＝1333.33米＝1.33千米即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.33千米远的对岸处。L北东【例题1】如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A有向左的速度v，B有向右的速度2v，求交点P的速度。【例题2】一人以7m/s的速度向北奔跑时，感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以1m/s的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风速。以自学伽利略变换系，很简单的，主要因为这些都是向量运算，高中阶段可能不好理解，我以坐标系的坐标式表示第一次人的速度(0,7)，风相对人的速度为(b,-b)推得风速为(b,7-b)第二次人的速度为(1,0)v2vABP风相对人的速度为(a,a)推得人的速度为(1+a,a)解方程组就行了，可得(4,3)风速大小就是5了，方向为arctan(3/4)【例题3】一人站在到离平直公路距离为d=50m的B处，公路上有一汽车以v1=10m/s的速度行驶，如图所示。当汽车在与人相距L=200m的A处时，人立即以v2=3m/s的速率奔跑。为了使人跑到公路上时，能与车相遇。问：（1）人奔跑的方向与AB连线的夹角θ为多少？（2）经多长时间人赶上汽车？（3）若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度为多少？如图所示，一个人站在距离平直公路h=50m远的B处，公路上有一辆汽车以v1=10m/s的速度行驶．当汽车与人相距L=200m的A处时，为了使人跑到公路上时能与车相遇，人的速度至少为多大？此时人应该沿哪个方向运动？用α表示人看到汽车的视线与人跑动的方向之间的夹角，θ表示视线与公路间的夹角．设人从B处跑到公路上的D处与汽车相遇，所用的时间为t，对△ABD有：AD=v1t，BD=v2t，AB=L，∠ABD=α，sinθ=hLBdAβv1据正弦定理列式可得：ADsinα=BDsinθ，即v1tsinα=v2tsinθ，v2=sinθsinαv1=hv1Lsinα要使人的速度最小，sinα应该最大，即α=90°，v2=hv1L=50×10200=2.5m/s．人应该沿垂直AB方向运动．答：人的速度至少为2.5m/s，人应该沿垂直AB方向运动．【练习】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中顺流而下。经过t0时间后，船员发现救生圈掉了，立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。问船掉头后要多长时间才能追上救生圈？某传在静水中的速度为54KM\H，现在流速为5M\S的河水中逆流而上，在A处船尾的救生圈掉入水中，半小时被船员发现并立即掉头追赶，问追上时的地方离A处有多远？以河水为参照物，救生圈掉入水中半小时后被发现开始掉头追赶，由于船与河水的相对速度一定，所以掉头追赶的时间等于发现救生圈掉落掉头时的时间等于半小时。这样，从救生圈从A处掉落到船掉头追上累计用时：0.5+0.5=1小时1小时的时间救生圈随河水漂流的距离=v河水*t=5*3600=18000米=18km答：追上时的地方离A处18km2、平面上有两直线夹角为θ（θ90°），若它们各以垂直于自身大小为v1和v2的速度在该平面上作如图所示的匀速运动，试求交点相对于纸面的速率和相对于每一直线的速率。第二题：经过时间t以后，交点的竖直位移是v2t，水平位移是v2t/tanα+v1t/sinα。合位移是s=t√(v2)^2+(v2/tanα+v1/sinα)^2。下面算根号里边的部分：(v2)^2+(v2/tanα)^2=(v2/sinα)^2，所以根号里边的部分等于(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]，所以交点速度v=s/t=√(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]。先算相对于L2的速度：因为L2是水平的，交点的水平位移是v2t/tanα+v1t/sinα，所以v2’=v1/sinα+v2/tanα=(v1+v2cosα)/sinα，根据对称性，交换一下v1和v2，就是v1‘=v1/tanα+v2/sinα=(v1cosα+v2)/sinα。3、如图所示，一辆汽车以速度v1在雨中行驶，雨滴落下的速率v2与竖直方向偏前θ角，求车后一捆行李不会被雨淋湿的条件。1．如图，一辆汽车以速度v1在雨中行驶。已知雨滴落下的速度v2与竖直方向偏前θ角。求车后的一行李不被淋湿的条件。HLθvθvv≥cossin221-4、如图所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并排固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过绳及杆BB1以速度v1v2θLH行李O12v2v1θABDCαv1LHv1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升，当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2是多大？纸上5、有A、B两艘船在大海中航行，A船航向正东，船速15km/h，B船航向正北，船速20km/h。A船正午通过某一灯塔，B船下午两点也通过同一灯塔。问：什么时候A、B两船相距最近？最近距离是多少？设灯塔点为O，由斜边大于直角边可得，在12：00前，AB40的。设当A经过灯塔h小时候，AB相隔最近，S=15h*15h+(20*2-20*h)*(20*2-20*h)的平方根。现在就是求S的最小值了。最后解的h=1.28小时，S=24。也就是当A进过灯塔1.28小时候，即在13时16分48秒时，AB相隔最近，相隔24千米。没有画图软件，就不给出图形了，自己画一个就可以了6、一个半径为R的半圆柱体沿体沿水平方向向右做匀加速运动，在半圆柱体上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（沿图所示），当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心连线（竖直方向）的夹角为θ，求此时竖直杆的速度和加速度。设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，解得V1=V0.tgθ.7、在宽度为d的街上，有一连串汽车以速度u鱼贯驶过，已知汽车的宽度为b，相邻两车间的间距为a。如图所示，一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间。PRθvbad走一个斜线，假设穿过车队时间为t，平行街道与车同向的速度为v1，垂直车道方向v2.则(u-v1)t=a.同时v2*t=b。则v1=u-(a/b)*v2合速度v=根号下v1平方+v2平方，将上式带进去得到v与v2的表达式对v2求导，导数等于0时v2=abu/(a^2+b^2)，则v1=b^2*u/(a^2+b^2)。可得合速度v=bu/根号(a^2+b^2)。方向是与街道夹角为A，tanA=v2/v1=a/b.8、一架飞机以相对于空气为v的速率从A向正北方向飞向B，A与B相距为L。假定空气相对于地速率为u，且方向偏离南北方向有一角度θ，求飞机在A、B间往返一次所需时间为多少？并就所得结果，对u和θ进行讨论。A-B对地速度：v+ucosθ∴tº=L/(v+ucosθ)同样B-At¹=L/(v-ucosθ)∴t=tº+t¹=2Lv/(v²-u²cos²θ)若uv且θ=0t0既不能返回若u=v且θ=0t=∞既不能返回若uv且θ=0t0返回时间=2Lv/(v²-u²cos²θ)若θ=90ºt=2L/v-------(和无风一样）若θ为任意角需讨论v=vcosθ三种情况第七讲：匀变速直线运动【知识要点】速度公式：atvvt0①位移公式：2021attvs②推论公式：asvvt2202③平均速度：20tvvtsv④上述各式，要注意用正、负号表示矢量的方向。一般情况下规定初速度0v方向为正方向，a、vt、s等矢量与正方向相同则为正，与正方向相反则为负。利用匀变速直线运动规律求解运动学问题，在熟悉题意的基础上，首先要分清物体的运动过程及各过程的运动性质，要注意每一个过程加速度必须恒定。找出各过程的共同点及两过程转折点的速度、再根据已知量和待求量选择合适的规律、公式求解，尽管公式都是现成的，但选择最简单的公式却有很多技巧，解题中要注意一题多解，举一反三，以达到熟练运用运动学规律的目的。【例题1】一小球自屋檐自由下落，在△t=0.2s内通过窗口，窗高h=2m，g=10m/s2，不计空气阻力，求窗顶到屋檐的距离。【例题2】一气球从地面以10m/s的速度匀速竖直上升，4s末一小石块从气球上吊篮的底部自由落下，不计空气阻力，取g=10m/s2，求石块离开气球后在空气中运行的平均速度和平均速率。【例题3】一物体由静止开始以加速度a1匀加速运动，经过一段时间后加速度突然反向，且大小变为a2，经过相同时间恰好回到出发点，速度大小为5m/s，求物体加速度改变时速度的大小和21aa的值【例题4】一架直升飞机，从地面匀加速飞行到高H的天空，若加速度a与每秒钟耗油量的关系式为Y=ka+β（k0，β0），求飞机上升到H高空的最小耗油量Q和所对应的加速度。【练习】1、一物体做匀加速度直线运动，在某时刻的前t1（s）内的位移大小为s1（m），在此时刻的后t2（s）内的位移大小为s2（m），求物体加速度的大小。2、一皮球自h高处自由落下，落地后立即又竖直跳起，若每次跳起的速度是落地速度的一半，皮球从开始下落到最后停止运动，行驶的路程和运动的时间各是多少？（不计空气阻力，不计与地面碰撞的时间）3、一固定的直线轨道上A、B两点相距L，将L分成n等分，令质点从A点出发由静止开始以恒定的加速度a向B点运动，当质点到达每一等分段时它的加速度增加na，试求质点到达B点时的速度vB4、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底部有一质点B自静止开始以加速度a背向斜面在光滑的水平面上向左运动。设A下滑到斜面底部能沿光滑的小弯曲部分平稳地向B追去，为使A不能追上B，试求a的取值范围。5、地面上一点有物体甲，在甲的正上方距地面H高处有物体乙，在从静止开始释放乙的同时，给甲一个初速度竖直上抛，问（1）为使甲在上升阶段与乙相遇，初速度v0为多大？（2）为使甲在下落阶段与乙相遇，初速度v0又为多大？第八讲：抛物的运动【知识要点】抛物运动——物体在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动。平抛运动——物体水平抛出后的运动。斜抛运动——物体斜向上或斜