全国初中数学联赛模拟试卷四及答案

初中数学联赛模拟试卷四一．选择题(本大题共6个小题,每小题有一个正确答案,选对得5分；选错、不选或多选均得0分)1．对任意两个实数a、b,用),min(ba表示其中较小的数,那么方程x),min(xx=1-2x的根是().A．-1,2-1B．1,-1-2C．-1,1-2D．1,2-12．方程02266322xxxxx的实根的个数是()个.A．1B．2C．3D．43．方程233553422xxxxxx的根是().A．)213(21B．)135(21C．)213(21D．)135(214．方程1225122xxx的根是().A．2518B．2532C．2532,2518D．非上述答案5．已知关于x的方程023482224xxx和632a,632b,632c,632d,则下列结论正确的是().A．a、b是方程的根,c、d不是方程的根B．c、d是方程的根,a、b不是方程的根C．a、d是方程的根,b、c不是方程的根D．b、c是方程的根,a、d不是方程的根6．方程组34124333222zyxzyxzyx的解共有()组.A．1B．2C．4D．6二．填空题(本大题共6个小题,每小题5分)1．方程25156959xxxx的根是___________.2．方程01332345xxxxx的根是________.3．满足方程2121)11()1(xxxx的x值有___________.4．方程组1673516846216264816537tzyxtzyxtzyxtzyx的解是____________.5．方程组11)2)(2(24)2)(2(24)2)(2(yzxzzyxyzxyx的解是____________.6．由方程组11112000199921200043212000321200021xxxxxxxxxxxxxxxx可得x1999是________.三．解答题1．解方程1)10)(2()9)(3(33xxxx.2．解方程)3)(2()3)(2()3)(2()3)(2()4)(1()4)(1()4)(1()4)(1(xxxxxxxxxxxxxxxx.3．已知a0,b0,c0,解方程组xczczzybbyyxaax222222221222.4．解方程组63212144321143432143243213214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx.模拟试卷四答案一．选择题题目123456答案BCDCCB1．当x0时,原方程化为xx212,即0122xx,∴x=1.当x0时,原方程化为xx212,即0122xx∴x=21,舍正数根,故21x.显然x=0不是原方程的根.故原方程的根是1、-1-2.故选B.2．解：令222xxu,则原方程转换为032xuu,∴u=0或u=3x.当u=0时,即222xx＝0,解得312,1x；当u=3x时,即3222xxx,整理得09942xx,解得x3=3,x4=-43.经检验,312,1x、x3=3是原方程的根,而434x是增根,故选C.3．解：显然x=0不是原方程的根,将原方程变形得23535134xxxx令t=xx3,得235514tt去分母整理得01522tt.因此得t1=-5,t2=+3.当t1=-5时,即xx3＝-5,∴0352xx,解得)135(212,1x；当t2=+3时,即33xx,∴0332xx此方程无实根.经检验)135(21x是原方程的根,故选D.4．解(I)将原方程变形得344322xxxx比较得432xx……①或342xx……②由①得1692xx,从而解得25181x；由②得9162xx,从而解得25322x.故选C.解(II)原方程可化为122522xxxx.令xxt2,则得12251tt.即01225122tt∴34,4321tt.同解(I).当431t时,有432xx,解得25181x；当342t时,有342xx,解得25322x.故选C.5．解(I)用配方法得0)1(24)1(222xx∴222)1(24)1(xx∵x2+10∴当x+1≥0时,x2+1=)1(62x；①当x+10时,x2+1=-26(x+1).②由①得010621622xxx解得x1=632；由②得010621622xxx解得6322x；6233x.从而6321ax,6322dx,是原方程的根.故选C.解(II)由326a,平方得6256622aa)1(6212aa再平方整理得023482224aaa.可见a是原方程的根,从而否定B、D.又由326b,平方得6256622bb)1(6212bb再平方整理得023482224bbb.可见b不是原方程的根,从而否定A.故选C.6．解：由x、y的对称性,设u=x+y,v=xy.∵xyyxyx2)(222)(3)(333yxxyyxyx∴原方程组可化为u-z=4①u2-2v-z2=12②u3-3uv-z3=34③由②可得)12(2122zuv④由①、④得v=4z+2⑤由①、③、⑤得34)24)(4(3)4(33zzzz解得z=1,从而v=6,u=5.再解方程组65xyyx可得原方程的两组解：123zyx或132zyx故选B.二．填空题1．解：观察可知方程25156959xxxx①两端全不为0.作辅助恒等式(9x-5)-(9x-6)=(5x-1)-(5x-2)②②÷①,得25156959xxxx③①+③,得152592xx.∴x=1.经检验,x=1是原方程的根.2．解：∵1-3+1-1+3-1＝0∴x1=1是原方程的根,因式分解得(x-1)(x4-2x3-x2-2x+1)=0下面解方程0122234xxxx.这个方程是对称方程,用x2除方程两边,得01)1(2122xxxx配方得3)1(2)1(2xxxx＝0所以31xx或11xx即0132xx,012xx由132xx＝0得2533,2x；而方程12xx＝0无实根.所以原方程有三个实根：11x,2533,2x.3．解：令u=21)1(xx,21)11(xv则u+v=x①u2-v2=x-1②②÷①得：u-v=1-x1③①+③得：2u=1+x-x1=1+u2.从而有u=1,即11xx,由此得251x.4．解(I)①+④得6x+10y+10z+6t=03x+5y=-(5z+3t)⑤由②、④可得x+y=-(x+t)⑥由⑤、⑥可得x=-t,y=-z,代入①、②可得4y-4x=16⑦6x-2y=-16⑧解这个方程组得x=-2,y=2,从而z=-2,t=2.可验证,x=-2,y=2,z=-2,t=2是原方程组的解.解(II)将x=-t,y=-z,z=-y,t=-x代入①、②,就得④、③.所以x=-t,y=-z.把这两个等式代入①、②得16621644tzzt故8t=16所以t=2,z=-2,y=2,x=-2.即原方程组的解是x=-2,y=2,z=-2,t=2.5．解：令u=x+y-z,v=y+z,w=-x-z,t=x-y,则原方程组可化为11))((24))((24))((tutuwuwuvuvu即u2-v2=24①u2-w2=-24②u2-t2=-11③又u+w+t=0④于是,原方程组可转化为由①、②、③、④组成的方程组.①-②得w2-v2=48⑤③-②得w2-t2=13⑥由④得t=-(v+w),代入⑥中得w2-(v+w)2=13即v2+2wv=-13∴vvw2132⑦将⑦代入⑤中,得48)213(222vvv整理可得3v4-166v2+169=0解得v2=1(舍去负根)∴v=±1.代入⑦得7w,t=-(v+w)=±6由v=-1,w=-7,t=6得671yxzxzy于是把z=7-x,y=x-6代入第一个方程可得(3x-12)(3x-14)=24解之得106111zyx31331038222zyx由v=-1,w=-7,t=-6,可解得106333zyx31331038444zyx6．解：由x1x2…x1999x2000=1,可得200019991998211xxxxx①200019991998211xxxxx②将①代入120001999199821xxxxx可得112000199920001999xxxx解得25120001999xx③将②代入12000199921xxxx可得1120002000xx解得2512000x④由③、④可得11999x；2535151；2535151.三．解答题1．解：令)10)(2(,)9)(3(33xxvxxu,则可得u-v=1①u3-v3=7②②÷①得722vuvu,即73)(2uvvu③①代入③得uv=2④①与④联立解得u=-1或u=2.即1)9)(3(3xx或2)9)(3(3xx解得862,1x,1764,3x.2．解：令)4)(1()4)(1(xxxxu,)3)(2()3)(2(xxxxv,则原方程转化为vvuu11,即(u-v)(uv-1)=0.故u=v,u=v1.当u=v时,)3)(2()3)(2()4)(1()4)(1(xxxxxxxx3343432222xxxxxxxx321436122xxxxxx解之得01x；2133,2x.所以,方程的根为01x,2103,2x,2135,4x.3．解：∵a0,b0,c0,∴x≥0,y≥0,z≥0显然x=y=z=0是原方程组的一组解.当xyz≠0时,有2222xaax≤xaxax222当且仅当x=a时等式成立.2222ybby≤byby222＝y当且仅当y=b时等式成立.22212zccz≤czcz222＝z当且仅当cz1时等号成立.2222222221222zcczybbyxaaxxzy≤x+y+z当且仅当x=a,y=b,z=c1,x=y=z时等号成立,即当且仅当x=y=z=a=b=c1时,等号成立.即当a=b=c1时,原方程组有解x=y=z=a.故当a=b=c1时,原方程组有两组解：x=y=z=0,x=y=z=a.否则,原方程组仅有一组零解x=y=z=0.4．解：显然x1x2x3x4≠0.原方程组等价于下列方程组：1111421431432xxxxxxxxx①21111321421431xxxxxxxxx②31111432321421xxxxxxxxx③61111431432321xxxxxxxxx④(①+②+③+④)÷3,得321111432431421321xxxxxxxxxxxx⑤⑤分别减去①、②、③、④,可得3321xxx