高中物理竞赛_动力学部分精选

1.如图所示的滑轮组，用一根用轻线（图中穿过弹簧的那条竖直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）.BCD23A已知三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0,整个系统处在静止状态。现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。(0.1)0000,整个系统处在静止状态。现突然烧断0000住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相撞。离至再次接触经解设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为△t,在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图3－53所示：图中，F表示△t时间内任意时刻弹簧的弹力，T表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉力，因D的质量忽略不计，有T0=2T在时间△t内任一时刻，砝码1向上运动，托盘向下运动，砝码2，3则向上升起，但砝码2，3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为V1，砝码2，3与托盘速度的大小都是V2，由动量定理，有If-Img=mv1②(0.2)IT-Img=mv2③IT-Img=mv2④IF+Img-IT0=mv2⑤式中：IF,Img,It,IT分别代表力F，mg,T,T0在△t时间内冲量的大小，注意到式①，有IT0=2IT⑥由②③④⑤⑥各式得v2=1/3v1⑦在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动。以△l1，表示在△t时间内弹簧上端向上运动的距离，△l2表示其下端向下运动的距离。由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的1/3，故有△l2=1/3△l1⑧另有，△l1+△l2=l0⑨在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有1/2kl20=1/2mv12+3*1/2mv22+mg△l1-mgmg1231FFmgmgTT0Tmg△l2+2mg△l2⑩由⑦⑧⑨⑩各式得v21=3/2m(1/2kl20-mgl0)(11)砝码1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有v1=gt1(12)砝码2，3和托盘的受力情况如图3－54所示，以a表示加速度的大小，有mg-T=ma(13)mg-T=ma(14)T0-mg=ma(15)T0=2T(16)由(14)(15)(16)各式得a=1/3g(17)托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历的时间t2，托盘速度变为零，有v2=at2(18)由⑦(12)(17)(18)式得t1=t2=v1/g(19)即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇，题中要求的时间T总=2t1(20)由（11）（12）（20）各式得T总=200231()22klmglgm(21)2.在如图3－55所示的装置中，物体A和B的质量分别为mA和mB，斜面的倾角为，物体A与斜面间的摩擦系数为μ(μtan),，求两物体运动的加速度及绳中的张力，（忽略绳和滑轮的质量及轴承的摩擦，且绳不可伸长）图3－55解（a）A沿斜面向上运动，分别隔离A，B两物，如图3－56所示为两物隔离受力图。A物的运动沿斜面方向和垂直于斜面方向的分量方程分别为TA-f-mAgsin=mAaA,①N-mAgcos=0②由②式得N=mAgcos,故f=Nμ=μmAgcos代入①式得TA-μmAgcos-mAgsin=mAaA③B物的运动方程为mBg-TB=mBaB④动滑轮受力情况如图3－56所示。由于忽略其质量，即m=0,故有TB-2TA=ma＝0AB图3－56因此TB=2TA当A沿斜面向上运动的位移为x时，原来在A与定滑轮间长为x的绳，到了定滑轮与动滑轮之间，使动滑轮两边的绳长各增加了x/2，即B仅下降了x/2，由此可推得aB=1/2aA⑥由③④⑤⑥各式可解得aA=24(cossin)4BAABmmgmmaB=2(cossin)4BAABmmgmmTA=(2sincos)4ABABmmgmm（b）A沿斜面向下运动，A,B两物隔离受力图如图3－57所示。同样可得A沿斜面方向的运动方程和B的运动方程分别为图3－57sincosAAAAAmgTmgma⑦BBBBTmgma⑧由⑤⑥⑦⑧各式可解得4(sincos)24ABAABmmagmm2(sincos)4ABBABmmagmm(2sincos)4ABAABmmTgmm由计算结果可知：若mB2mA(sin+μCOS),则A沿斜面向上加速；若mB2mA(sin-μCOS),则A沿斜面向下加速；若2mA(sin－COS)mb2mA(sin+μCOS),则A和B静止若mB=2mA(sin－μCOS)或mB＝2mA(sin＋μCOS)，则由A和B的初始情况而定，有可能两者静止，也有可能两者做匀速运动3.长度为l的不可伸长的轻线两端各系一个小物体，它们沿光滑水平面运动。在某一时刻质量为m1的物体停下来，而质量为m2的物体具有垂直连线方向的速度v（图3－60）.求此时线的张力.解该系统的质心位于连线上，离第一个物体距离R1=212mlmm，并以速度v0=212mvmm相对平面运动.选择与质心相连的坐标系，在此坐标系内质心是静止的，m1和m2绕质心作匀速圆周运动（图3－61），并且第一个物体相对质心速度为-v0.根据牛顿第二定律，作用于第一个物体上的张力等于2011vFmR将表示R1和v0的式子代入此式中，得到21212()mmvFmml4.如图3－62所示，在一辆不光滑的铁路平板车上有一只均匀装满货物的集装箱，箱子高为H，宽为L，右边有一个小车轮。当火车加速向左行驶时，如果加速度超过a0，则集装箱开始沿平板向右慢慢滑下。要使集装箱开始向左慢慢滑下，求火车刹车应具有的最小加速度。（滚动摩擦不计）解分析集装箱所受的力：重力mg，摩擦力f，支持力N1和N2（图3－63）.集装箱平衡条件：各个力相对集装箱中心的力矩之和为零.f2H+N12L-N22L=0各个力在竖直方向上分量之和等于零N1+N2-mg=0由此得到N1=1/2mg-2HLf当平板车加速时f=ma0,.另一方面，在集装箱开始下滑时刻f=μN1，式中μ是摩擦系数.由此得到ma0=12μmg-2HLμma0μ=002/agaHL'mmmNNMgMa当平板车以加速度a刹车时，摩擦力方向向右且大小f=ma，而集装箱下滑时等于f=μN1.同理得到ma=12μmg+2HLμmaμ=2/agaHL从两个表示μ的式子得到所求的加速度a=0012/()aaHgL注意，当摩擦力大的情况下，集装箱可能不是开始下滑，而是翻下去，我们来求摩擦系数和加速度的“临界”值.当翻转时N2=0和f=ma临，因而N1=mgMg.2L=ma临.2H由此a临=gLH,μ临=LH与这样的μ值对应的火车加速度a0=g.3LH于是，当a03gLH,a=0012/()aaHgL如果a03gLH,那么当火车刹车足够剧烈情况下，集装箱发生翻转而不是滑下。