第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛8年级A卷（中国赛区）复赛

八年级A卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A10.D3.当x+3=0时，x=－3；当2x－3=1时，x=2；当x=1时，（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0，∴y=x+1，∵1＜y＜2，∴1＜x+1＜2，∴0＜x＜1，∴1026234422yxyyx=10)1(26)1(23)1(4422xxxxx=96214422xxxx=22)3(2)12(xx=|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．7.∵BP=31AB=1，∠BPR=60°，∴PR=1，根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，光线经过的大致路线如图所示，∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9．8.过F作FG∥AB∥CD，交BC于G．则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=21BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，，APAPEADCADACAE,，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．10.过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中，PD,PCDPNMCPDNPCMP，，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴设AD=a，BD=2a，∵P（1，1），∴BN=2a－1，则2a－1=1，a=1，即BD=2．∵直线y=x，∴AB=OB=3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=5，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=－31，即直线CD的解析式是y=－31x+3，即,,331xyxy解得：.49,49yx，即Q的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.112.2113.a＜1且a≠－114.(21,0)15.51216.213.解方程得x=a12，∵原方程的解为正数，∴x＞0，即a12＞0，当x－1=0时，x=1，代入得a=－1．此为增根，∴a≠－1，解得a＜1且a≠－1．14.作A点关于x轴的对称点A'，连BA'，交x轴于点P，此时|PA-PB|最大．由A'（1，－1）、B（2，－3）可得直线BA'的解析式为y=－2x+1，令y=0，则x=21，即点P的坐标为(21,0)．15.∵)2(2)3(babbaa，∴a－3ab=2ab－4b，∴a－5ab+4b=0，∴（ba4）（ba）=0，而a≠b，故ba4=0，a=16b，原式=5124416bbbb．16.连AE，过A点作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥CB的延长线于点G，∵BD=2，CD=4，∴BC=6，由题意得BF=CF=AF=3，DF=1，AB=23，∴在Rt△ADF中AD=10．设GE=GB=x，则BE=x2，GD=x+2，ED2=x2+（x+2）2，AE2=ED2+AD2=x2+（x+2）2+10，又在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2=2x2+（23）2=2x2+18，∴x2+（x+2）2+10=2x2+18，解得x=1，∴BE=2．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=yxyxyx3)3)(3(+yxyx2)(=x+3y+x+y=2x+4y，当x=3，y=4时，原式=23+44=23+8．18.解：iiiiiiiiii5453543444)2)(2()2(22222．19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ECF，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECF，∴∠BCE=∠1，∴BC=BE，∴四边形BCFE是菱形．∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，∴∠ECF=∠2，∴CM=FM，又∵MH⊥CD，连接BF交CE于点O，∵G是BC中点，∴CG=21CB，∵CH=21CF，∴CG=CH，在△CGM和△CHM中，，，CHCGHCMGCMCMCM,∴△CGM≌△CHM（SAS），∴∠CGM=∠CHM=90°，即FG⊥BC，∴CF=BF，∵BC=CF，∴BC=CF=BF，∴△BCF是等边三角形，∴∠BFC=60°，∴∠2=∠BFG=30°，∵BF⊥CE，∴OM=MH，∵OE=OC=FG，∴EM=FG+MH．20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a元，则1.5a×aa12004000+1200×2a－4000=3200，解得：a=2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元，则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000个，设利润为W元，销售板栗粽子x个，咸肉馅棕售价4元/个，板栗粽售价3元/个，根据题意得：W=4（2000－x）+3x－400=－x+4000，∵2000－x≤60%x，∴x≥1250，∵－1＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x=1250时，W最大，最大值为W=－1250+4000=2750．21.解：（1）∵将x=0代入y=mx+2得；y=2，∴点D的坐标为（0，2）．∵CG=OD=2，∴点G的坐标为（2，6），将点G（2，6）代入y=mx+2得：2m+2=6．解得：m=2．∴直线DG的函数表达式为y=2x+2．（2）①如图所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴于点N．∵四边形DEFG为菱形，∴GF=DE，GF∥DE．∴∠GNC=∠EDO．∴∠NGC=∠DEO．∴∠HGF=∠DEO．∴Rt△GHF≌Rt△EOD．∴FH=DO=2．∴S△GBF=21GB·HF==21×2×（6－a）=6－a，∴S与a之间的函数关系式为：S=6－a．②当s=1时，则6－a=1，解得：a=5．∴点G的坐标为（5，6）．在△DCG中，由勾股定理可知DG=41542222CGCD．∵四边形GDEF是菱形，∴DE=DG=41．在Rt△DOE中，由勾股定理可知OE=44122ODDE=37＞6．∴OE＞OA，∴点E不在OA上，∴S≠1．