第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛9年级B卷（中国赛区）复赛

九年级B卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.A2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.B9.B10.B7.由于直线y1=kx+b过点A（0，2），P（1，m），则有,2,bmbk，解得.2,2bmk∴y1=（m－2）x+2．故所求不等式组可化为：mx＞（m－2）x+2＞mx－2，不等号两边同时减去mx得，0＞－2x+2＞－2，解得：1＜x＜2．8.设Q是AB的中点，连接DQ，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵AB=AC=2，O为AC中点，∴AQ=AO，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD=OE，∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∴QD=22QB，∵QB=21AB=1，∴QD=22，∴线段OE的最小值是为22．9.如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，由对称性可得，AB=AE=1，则BE=2，∵点E与点F关于BD对称，∴DE=BF=BE=2，∴AD=1+2，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四边形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，∴tan∠ADB=12211ADAB，在Rt△OED中，可设OD=x，OE=x)12(，∴（2）2=x2+[x)12(]2，解得x=2224，∴OE=2224，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EBG+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF，∴cos∠AGB=DEOE=222．10.过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，∵点A是函数y=x1（x＜0）图象上一点，∴设A（a，a1），∵点C在函数y=xk2（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，∴设C（b，bk2），∵AD⊥BD，BC⊥BD，∴△OAD∽△OCB，∴222△△)(baOBODSSBCOADO，∵S△ADO=21，S△BOC=22k，∴k2=2)(ab，∴k=－ab，∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=21×（－a1）•b+22k=6，∴k2－ab=12，∴k2+k－12=0，解得：k=3，k=－4（不合题意舍去），∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，∴OA′，OC′在同一条直线上，∴S△OBC′=S△OBC=22k=29，∵S△OAA′=2S△OAD=1，∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．二、填空题（每小题5分，共30分）11.8312.22π13.0.1614.奇数15.18516.①③13.∵抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，∴点A、B两点的坐标分别是（－aa2，0）、（aa2，0）；又∵抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4的顶点分别为C、D．∴点C、D的坐标分别是（0，－4）、（0，4）；∴CD=8，AB=aa4，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△ABC=21AB•OD+21AB•OC=21AB•CD=21×8×aa4=40，即21×8×aa4=40，解得a=0.16．14.因为m、n是两个连续自然数，设m＜n，则n=m+1，且q=mn，代入得：p=mmmmmm)1()1()1(=22)1(mm=m+1+m=2m+1；因为m为自然数，所以2m为偶数，即2m+1为奇数．15.设甲、乙、丙三箱子内原本都装有x个小球，则甲有x41个红球，丙有x127个红球，则一共有x41+x127=x65（个）红球，甲箱内最后共有3x个小球，因此取出红球的概率为185365xx．16.∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴HG⊥BE，故①正确；易证得△BGH≌△EGH，∴BH=EH，又∵O是EG的中点，∴HO21BG，设EC和OH相交于点N．设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴CGHNDCDN，即baaab222，即a2+2ab－b2=0，解得：a=2222b=（－1+2）b，或a=（－1－2）b（舍去），则ba=2－1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF=（2－1）2=3－22，故②错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴babOHEFOMEM2，∴babOEEM32，babEGEM3，∴1212121212bababMGEM，故③正确．因此正确的结论是①③．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：配方法：6x2+7x－3=0，x2+67x=21，（x+127）2=21+14449=144121，故x+127=±1211，解得：x1=－23，x2=31．因式分解法：6x2+7x－3=0，6x2+9x－2x－3=0，3x（2x+3）－（2x+3）=0，(2x+3)(3x－1)=0，解得x1=－23，x2=31．（只写了一种正确方法的得4分）18.解：设经过（0，0）和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=ab，设经过（0，0）和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，解得：m=cd，∵a，b，c，d四个数成比例，∴ab=cd，∴k=m，则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O（0，0）在同一条直线上．19.证明：∵m=2x2－6xy+5y2=（x－2y）2+（x－y）2，其中x、y是有理数，∴“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数），只须p=x－2y，q=x－y即可．∴对于任意的两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数，因此有：22222222222)())((srsrkjsrkjba=22222)()()(srkrjsksjr=222)(srksjr+222)(srkrjs也是“世博数”．20.（1）证明：取AF的中点M，连接MD，∵AD=DC，∴CF=2MD，且MD∥BC，∴∠DMH=∠BFH，又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG，∴∠BHG=∠BFH，而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG，∴∠DMH=∠DHM，∴DH=DM．而CF=2MD，∴CF=2DH；（2）解：过E作EN⊥BC于N，∵AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，EN⊥BC，∴EN=DE=4，在Rt△CEN中，cos∠BCA=53CECN，∴设CN=3k，则CE=5k，得EN=4k=4．∴k=1，CE=5，CD=9，在Rt△BCD中，cos∠BCA=53BCCD，∴BC=15，BD=12，又∵∠BHG=∠BFH，∴BH=BF，设DH=x，则FC=2x，BH=12－x，BF=15－2x．由12－x=15－2x，得x=3，∴HD=3．21.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）2+9．∵将B（－1，0）代入得：9a+9=0，解得；a=－1，∴解析式为y=－（x+4）2+9，即y=－x2－8x－7．∵点A与点B关于x=－4对称，B（－1，0）∴A（－7，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b．∵将A（－7，0）、C（－4，9）代入得：,94,07bkbk解得：k=3，b=21，∴直线AC的解析式为y=3x+21．（2）∵AH=3，CH=9，∴S△AHC=2279321．∵S△APC=92S△AHC，∴S△APC=22792=3．设p（a，－a2－8a－7），N（a，3a+21）．则PN=－a2－8a－7－（3a+21）=－a2－11a－28．连PA、PC，则S△APC=21PN•AE+21PN•EH=21PN•AH=3，∴21×（－a2－11a－28）×3=3，解得a1=－5，a2=－6．∴点P（－5，8）或（－6，5）．（3）∵由（2）可知PN=－a2－11a－28=－（a+211）2+49．∴PN的最大值为49．∵EN∥CH，∴∠ACH=∠ANE．∵∠PNM=∠ENA，∴∠PNM=∠ACH．又∵∠PMN=∠AHC=90°，∴△PMN∽△AHC．∴PM：MN：PN=HA：CH：CA=1：3：10．∴l=PN×204510181010449101031．