全国高中数学联赛模拟试题10

全国高中数学联赛模拟试题（十）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M={2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是（A）45（B）27（C）15（D）112、已知sin2=a，cos2=b，0＜＜4，给出4tan值的五个答案：①ab1；②ba1；③ab1；④ba1；⑤11baba．其中正确的是：（A）①②⑤（B）②③④（C）①④⑤（D）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（A）64（B）66（C）68（D）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为（A）729（B）972（C）243（D）9815、14951CCCCmnnnn（其中41nm，[x]表示不超过x的最大整数）的值为（A）4cos2nn（B）4sin2nn（C）4cos22211nnn（D）4sin22211nnn6、一个五位的自然数abcde称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A）8568（B）2142（C）2139（D）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322yx上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=PH（≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是．2、已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角（0＜＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f()=．3、不等式92211422xxx的解集为．4、设复数z满足条件|zi|=1，且z≠0，z≠2i，又复数使得i2i2zz为实数，则复数2的辐角主值的取值范围是．5、设a1,a2,…,a2002均为正实数，且21212121200221aaa，则a1a2…a2002的最小值是．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{an}是首项为2，公比为21的等比数列，且前n项和为Sn．（1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然数c和k，使得cScSkk1＞2成立．四、（20分）设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R+上的函数f(x)满足（i）对于任意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)；（ii）当x＞1时，f(x)＜0；（iii）f(3)=1．现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)f(5q)2＞0，p、q∈R+}，集合B={(p,q)|f(qp)+21=0，p、q∈R+}．试问是否存在p、q，使BA，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若POQOSS△⊙32，求证：∠POQ=60°．二、（50分）已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1an（n≥1）．求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数．三、（50分）设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1）三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点；（2）三角形的内心是坐标原点．参考答案MAPQNLO第一试一、选择题：题号123456答案ACBDDB二、填空题：1、1,33；2、900,460,36030,230,1300,0f；3、845,00,21；4、,34arctan；5、40022002；6、63142789102111nn．三、（1）2211nnSS；（2）不存在．四、1922yx．五、不存在．第二试一、证略；二、n=3．三、p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．