全国高中数学联赛模拟试题5

全国高中数学联赛模拟试题（五）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1）没有任何两个平面互相平行；（2）没有任何三个平面相交于一条直线；（3）平面间的任意两条交线都不平行；（4）平面间的每一条交线均与n2个平面相交．其中，正确的个数为（A）1（B）2（C）3（D）42、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为（A）2bfaf（B）2baf（C）abbfacafcb（D）afbfabacaf3、设a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则（A）a+b＞1（B）a+b=1（C）a+b＜1（D）不能确定，与a、b的具体取值有关4、设椭圆12222byax的离心率23e，已知点23,0P到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b=（A）161（B）81（C）41（D）215、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是（A）32003C（B）2100221001CC（C）2100221001AA（D）32003A6、长方体ABCDA1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有（A）V4＜V1+V2+V3（B）V4=V1+V2+V3（C）V4＞V1+V2+V3（D）不能确定，与长方体的棱长有关二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知kcoscossinsin33，则k的取值范围为．2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有个．3、在四面体PABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则ba的取值范围为．4、动点A对应的复数为z=4(cos+isin)，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为．5、200313kk被8所除得的余数为．6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．三、（20分）已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．四、（20分）单位正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M．（1）求证：AN、B1M为异面直线；（2）求出AN与B1M的夹角．五、（20分）对正实数a、b、c．求证：cabcbacbabca888222≥9．第二试一、（50分）设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，（1）证明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．二、（50分）给定由正整数组成的数列nnnaaaaa12212,1（n≥1）．（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…均在曲线x2+xyy2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn-1anxan-1，g(x)=x2x1，证明：g(x)整除f(x)．三、（50分）我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果（1）AAAAn21；（2）jiAA，1≤i＜j≤n．求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有两个元素a、b满足b＜a≤89b．参考答案第一试一、选择题：题号123456答案DCACBC二、填空题：1、1,2121,1；2、17；3、1,32；4、134122yx；5、4；6、117600．三、2222,2,2,20,8,20,8pplplMplplplMplpl．四、（1）证略；（2）32arccos．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．