高中数学竞赛教材讲义 第七章 解三角形

第七章解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各边长，2cbap为半周长。1．正弦定理：CcBbAasinsinsin=2R（R为△ABC外接圆半径）。推论1：△ABC的面积为S△ABC=.sin21sin21sin21BcaAbcCab推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足)sin(sinabaa，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=Cabsin21；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理BbAasinsin，所以)sin()sin(sinsinAaAa，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于21[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=21[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0-A+a，-a+A.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAbcacbA2cos222，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=.22pqqpqcpb（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos.ADB①同理b2=AD2+q2-2AD·qcosADC，②因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=.22pqqpqcpb注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式.222222acbAD（2）海伦公式：因为412ABCSb2c2sin2A=41b2c2(1-cos2A)=41b2c21614)(1222222cbacb[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里.2cbap所以S△ABC=).)()((cpbpapp二、方法与例题1．面积法。例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足QORPOQ,，另外OP，OQ，OR的长分别为u,w,v，这里α，β，α+β∈(0,)，则P，Q，R的共线的充要条件是.)sin(sinsinwvu【证明】P，Q，R共线ORQOPQOPRΔPQRSSSS0sin21uv(α+β)=21uwsinα+21vwsinβvuwsinsin)sin(，得证。2．正弦定理的应用。例2如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。【证明】过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：例3如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。【证明】延长PA交GD于M，因为O1GBC，O2DBC，所以只需证.21AEAFAOAOMDGM由正弦定理sin)2sin(,sin)1sin(AEPAAFAP，所以.sinsin2sin1sinAFAE另一方面，2sinsin,1sinsinPMMDPMGM，所以sinsin1sin2sinMDGM，所以AEAFMDGM，所以PA//O1G，即PABC，得证。3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x,y,z，则a=y+z,b=z+x,c=x+y.例4在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.【证明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y，则abc=(x+y)(y+z)(z+x)zxyzxy8=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。例5设a,b,c∈R+，且abc+a+c=b，试求131212222cbaP的最大值。【解】由题设bacca1，令a=tanα,c=tanγ,b=tanβ,则tanβ=tan(α+γ),P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤31031031sin32，当且仅当α+β=2，sinγ=31，即a=42,2,22cb时，Pmax=.310例6在△ABC中，若a+b+c=1，求证:a2+b2+c2+4abc.21【证明】设a=sin2αcos2β,b=cos2αcos2β,c=sin2β,β2,0.因为a,b,c为三边长，所以c21,c|a-b|，从而4,0，所以sin2β|cos2α·cos2β|.因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β=41[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]=41+41cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)41+41cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=41.所以a2+b2+c2+4abc.21三、基础训练题1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=432，则cosAcosB的最大值为__________.2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则C的取值范围是__________.3．在△ABC中，a=4,b+c=5,tanC+tanB+33tanCtanB，则△ABC的面积为__________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1，则C=__________.5．在△ABC中，“ab”是“sinAsinB”的__________条件.6．在△ABC中，sinA+cosA0,tanA-sinA0，则角A的取值范围是__________.7．在△ABC中，sinA=53，cosB=135，则cosC=__________.8．在△ABC中，“三边a,b,c成等差数列”是“tan312tan2CA”的__________条件.9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB1，则△ABC为__________角三角形.11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。13．已知△ABC中，sinC=BABAcoscossinsin，试判断其形状。四、高考水平训练题1．在△ABC中，若tanA=21,tanB=31，且最长边长为1，则最短边长为__________.2．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.3．已知p,q∈R+,p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC为__________角三角形.5．若A为△ABC的内角，比较大小：AAcot8cot__________3.6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.7．满足A=600，a=6,b=4的三角形有__________个.8．设为三角形最小内角，且acos22+sin22-cos22-asin22=a+1，则a的取值范围是__________.9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。10．求方程xyxyyx11的实数解。11．求证：.20720sin310五、联赛一试水平训练题1．在△ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.2．在△ABC中，若BACACBcos2coscos2cossinsin，则△ABC的形状为____________.3．对任意的△ABC，2cot2cot2cotCBAT-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为____________.4．在△ABC中，CBAsinsin2sin的最大值为____________.5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=3，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S2+T2的取值范围是____________.6．在△ABC中，AC=BC，080ACB，O为△ABC的一点，010OAB，ABO=300，则ACO=____________.7．在△ABC中，A≥B≥C≥6，则乘积2cos2sin2cosCBA的最大值为____________，最小值为__________.8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则2cos2sinCAAC=____________.9．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧AB，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。六、联赛二试水平训练题1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：sin2EFPQ，此处=B。2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△