初中数学竞赛试题

初三上期数学竞赛试题一、选择题：（共30分，第小题5分）1．设a，b为实数，则下列命题中正确的是（）A．ab==a2b2B．a≠b==a2≠b2C．|a|b==a2b2D．a|b|==a2b22．已知四边形ABCD，从①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④AD=BC，⑤AD=DC，⑥CB=CD六个条件中任取两个，能推出四边形ABCD是平行四边形的取法共有（）A．6种B．5种C．4种D．3种3．某商店经销一批衬衣，每件进价为a元，零售价比进价高m%。后因市场变化，该商场把零售价调整为原来零售价的n%出售。那么，调整后每件衬衣的零售价是（）A．a(1+m%)(1-n%)元B．am%(1-n%)元C．a(1+m%)n%元D．a(1+m%n%)元4．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（）A．124°B．122°C．120°D．118°5．已知a为非负整数，关于x的方程0412axax至少有一个整数根，则a可能取值的个数为（）A．1B．2C．3D．46．x、y、z是三个非负实数，满足523zyx，2zyx。若zyxS2，则S的最大值与最小值的和为（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：（共30分，第小题5分）7．如图，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4，PC=5，那么PD=_________。8．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底用了7分30秒，而他沿着同一扶梯从底走到顶只用了1分30秒。该人上、下的速度不变，那么，如果此人不走，乘该扶梯从底到顶所需时间是（）9．已知a为实数，且使关于x的二次方程022axax有实数根，则该方程的根x所能取到的最大值是_________。10．对于一个非零自然数n，如果能找到非零自然数a和b，使n=a+b+ab则数n为一个“好数”，例如3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”有______个。11．在直角坐标第中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线3xy与kkxy的交点为整数时，k的值可以取_______个。12．如果将棱长相等的小正方体按如图的方式摆放，从上到下依次为第一层，第二层，第三层，……，那么第2005层的小正方体的个数是_______。三、解答下列各题：（共60分）13．（15分）已知如图，P是等边三角形ABC内部一点，且∠APC=117°，∠BPC=130°，求以AP、BP、CP为边的三角形三内角的度数。14．（15分）设1111zyxzyx，求证：x、y、z中，至少有一个数为1。15．（15分）某服装车间接到一批支援灾区的紧急生产任务，要求在一个月时间内生产尽可能多的套装（1件衣和一条裤为1套）。已知第一小组甲、乙、丙、丁四个工人生产衣和裤的能力如下：一天时间甲可做衣4件或裤4条，乙可做衣9件或裤7条，丙可做衣6件或裤8条，丁可做衣11件或裤8条。问：怎样安排生产可使一周（7天）内生产的服装套数最多（因原料和设备安排，每位工人必须全天做衣或全天做裤）？最多是多少套？16．（15分）设非零实数1p、2p，1q、2q满足关系式)(42121qqpp。证明：方程0112qxpx与0222qxpx中至少有一个具有不等实根。初三上期数学竞赛试题参考答案一、选择题：1.D、2.C、3.C、4.B、5.C、6.A二、填空题：7．23提示：以Ｐ为原点建立直角坐标系，求两点间的距离8．3分45秒提示：顺流、水流、逆流问题。9．224133或写为提示：看成关于a的一元二次方程有实根，则△＝１－４x·x2）≥０10．12提示：n+1=a+b+ab+1＝（a+1）（b+1）即（n+1）是一个合数11．6个提示：两方程相减得：x＝－１－14k；∴k＝－3，－1，0，2，3，512．2011015提示：201101522005)20051(三、解答题：13．如图：思路分析：想方法以PA、PB、PC为边构成三角形。如果把△APC绕点A顺时针旋转60°得△AP’B，而△AP’P为等边三角形，所△P’PB为所构成的三角形（以PA、PB、PC为边）。容易求得：∠BP’P=57°∠P’PB=53°∠P’BP=70°14．思想方法：x、y、z中至少有一个为1，则（x－1）、（y－1）、（z－1）至少一个为零，就是（x－1）（y－1）（z－1）=015．①安排丁做衣服，丙做裤。②一周内甲、乙各做衣x天，y天，则做裤（7－x）天、（7－y）天：４x＋9y＋11×7＝4(7-x)＋7(7-y)＋7×8即：x＋2y＝7这周内生产的总套数Ｗ＝４x＋9y＋11×7=105＋y而x＝7－2y≥０得：y≤３（且y为正整数）∴当y＝３时，Ｗ最大＝108套，这时x＝１这周生产安排为：甲：１天做衣，６天做裤；乙：３天做衣４天做裤；丙：７天做裤；丁：７天做衣。16．证明：如果两个议程均无不等实数根：则1214qp≤０；2224qp≤０21212221)(4ppqqpp即：0422222221221pppppp043222221ppp而：02221pp我们知道，04322p∴043222221ppp，上述结论与此矛盾∴两个方程中至少有一个具有不等实根。