初中数学竞赛专题选讲(初三)

初中数学竞赛专题选讲(初三.23)选择题(二)一、内容提要1.在第26讲《选择题（一）》中，介绍了“有唯一正确答案”的选择题的解法，内容着重于代数方面.本讲则将侧重于几何.几何的选择题大都是判定图形的形状、位置、大小，计算长度、面积、体积以及判定命题的真假等.2.解题方法与代数一样，可用直接选择法或逐步淘汰法.几何的特点是要更多地借助图形，并运用定义、公理、定理、推论等概念进行辨析、推理、演算；利用准确的图形(包括按比例尺放缩)或特殊图形判断；也可以先猜测结论而后验证.淘汰法就是要举出反例，逐一否定选择项；要注意图形之间的从属关系和并列，互斥关系以便全面分析，正确解答.二、例题一.直接法例1.已知：如下图四边形ABCD的边长AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，若把四边形的两条边的夹角变大为180，其它的角的大小随着变化，边的长度不改变.那么：四边形可变为()(A)△ABC.(B)△ABD.(C)△ACD.(D)△BCD.解：根据“三角形任意两边和大于第三边”，只有1+23+4能成立，即把AB，BC变成AC，组成△ACD.故选(C).(例1)(例2)例2.已知：如上图过△ABC内一点P作DE∥AB，FG∥AC，MN∥BC.那么：ACFGABDEBCMN的值是()(A)23.(B)2.(C)34.(D)35.解：∵选择项是肯定的唯一正确的答案，所以可用特殊三角形(如等边三角形)，并把点P放在特殊的位置(正三角形的中心).这样易得32ABAMBCMN，余同.32×3＝2.故应选(B).注意：如果选择支有“以上都不对”或“其值随图形的变化而变化”的选项，则一般不可以用特殊图形.GFED4321PABCDABCMN例3.已知：如下图等边△ABC的高和⊙O的半径相等，⊙O在边AB上滚动，切点为T，且⊙O和BC，CA交于M，N.那么：弧MTN的度数().(A)在0到30变化.(B)在30到60变化.(C)在60到90变化.(D)保持60不变.解：本题只要依题意准确画图，把弧MTN所对的弦MN度量，与△ABC的高比较(用两脚规)，就会发现长度（与半径相等）不变，故选(D).(例3)(例4)例4.已知：如上图，圆内接四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的长分别为25，39，52，60，则圆的直径长为()(A)62.(B)63.（C）65.（D）66.（1995年全国初中数学联赛题）解：猜测直径是BD且∠A＝Rt∠.根据勾股定理，得BD2＝252＋602＝4225＝652，把652代入△BCD中检验，刚好652＝392＋522，∠C＝Rt∠.故选(C).大胆猜想，小心论证是解答选择题的重要方法之一.例5.如图，在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角(如A，B，C三个顶点形成∠ABC，∠ACB，∠BAC)，一共可作出168个角.那么这些角中最小的一个一定是()（A）小于或等于20.(B)小于或等于22.5.(C)小于或等于25.(D)小于或等于27.5.(2000年希望杯数学邀请赛初二试题)解：以特殊图形正八边形为例，由一个角的顶点可引5条对角线，把这个角等分为6个角，每个是22.5，即最小角是小于或等于22.5.故选(B)二.淘汰法1.特殊图形排除法例6.如果△ABC的三条外角平分线相交成△DEF，那么△DEF一定是().（A）直角三角形.（B）钝角三角形.（C）锐角三角形.（D）不是锐角三角形.60523925DCBANMABCODTABCDEFGH解：选择项（C）和（D）是互否的.我们可用特殊图形(等边三角形ABC)画出各外角平分线，围成△DEF，发现它也是等边三角形，故可排除(A)，(B)，(D).决定选择(C).2.反例排除法例7.下列四个判定平行四边形的命题的题设，其中是真命题的个数为().(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.1.一组对边相等且一组对角相等的四边形.2.一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形.3.一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形.4.一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形.（1988年全国初中数学联赛题）解：本题四个选择支都是要判定平行四边形的条件，但都不是定理，能否成立，最好是举反例(即画出具有题设条件但又不能成立的图形)来否定，逐一淘汰，下面各图分别否定了第1，2，4，只有3能成立.故选(A).3.概念辨析排除法例8.如图，四边形ABCD的AB=1，BC=9，CD=8，DA=6，对以下五个命题的正确判断是()(A)①真②假④真.(B)③真④假⑤真.(C)③真④假⑤假.(D)②假③假④真.①四边形ABCD外切于圆.②四边形ABCD不内接于圆.③两对角线不互相垂直.④∠ADC≥90.⑤△DBC是等腰三角形.（1986年全国初中数学联赛题）解：一般判定真命题较难，确定假命题只要举出一个反面的例子便可.∵1+8≠6+9，∴①是假；∵AC1+9，∴AC262+82可知④是假；∵△ABD中BD1+6，∴⑤是假.∴这就淘汰了(A)，(B)，(D).故可选(C).4.验证排除法例9.已知：不等边三角形ABC的两条高分别为4和12，若第三高也是整数.那么：它的长度最大可能是().(A)4.(B)5.(C)6.(D)7.解：可以依次把7，6，5，4逐一验证.∵是不等边三角形，∴4先排除.∵三角形的面积等于底乘高的一半，即a×ha=b×hb=c×hc若ha∶hb∶hc则a∶b∶c为4∶12∶7是21∶7∶12但217+12(排除)；为4∶12∶6是3∶1∶2但3=1+2(排除)；为4∶12∶5是15∶5∶12155+12(适合).4216891OABCD故选(B)5.特值排除法例10.互不相等的三个正数a,b,c恰为一个三角形的三条边，则用下列的三个数为长度的线段一定能作成三角形的是().(A)a1，b1，c1.(B)a2,b2,c2.(C)cba,,.(D)accbba,,.(2000年希望杯数学邀请赛初二试题)解：根据“三角形任意两边和必须大于第三边”的定理，找到适当的特殊值：当a=3,b=4,c=5时，可以排除(B)（∵32+42=52）；也可以排除和(D)（∵1+1=2）；如果a=2,b=6,c=7时，则(A)也可以排除，（∵716121）.故选(C).三、练习1.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，把矩形折叠使点A和点C重合，那么折痕EF的长是()(A)3.74.(B)3.75.(C)3.76.(D)3.78.2.三角形三条边的比是6∶4∶3，则三条高的比是()(A)6∶4∶3.(B)2∶3∶4.(C)3∶4∶6.(D)以上都不对.3.不等边三角形的边长均为整数，周长是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，则符合条件的三角形共有()(A)一个.(B)两个.(C)三个.(D)四个.（1989年泉州市初二数学双基赛题）4.以三角形的三个顶点和它内部的7个点，共10个点为顶点，连成小三角形，这样的小三角形的个数是().(A)11.(B)15.(C)19.(D)不定.5.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7作为四条边构成一个梯形，则在所有构成的梯形中，中位线的长的最大值是（）.(A)13.5.(B)11.5.(C)11.(D)10.5.（2000年希望杯数学邀请赛初二试题）6.△ABC中，AB＝AC，BM是中线，则BMAB的值是（）.(A)大于21.(B)大于32.(C)大于31.(D)大于43.7.三角形有一个角30度，且一边等于另一边的2倍，那么这个三角形（）(A)一定是直角三角形.(B)一定是钝角三角形(C)可能是锐角三角形.(D)以上都不对.8.钝角三角形的三边长是连续整数，那么边长必定是（）（A）2，3，4.（B）4，5，6.（C）5，6，7.（D）6，7，8.9.已知a,b,c是△ABC的三边长，且cbacba1111.那么△ABC必定是（）(A)等边三角形.（B）以a为底的等腰三角形.(C)以c为底的等腰三角形.（D）以上结论都不对.10.设任意△ABC的周长为L，外接圆半径为R，内切圆半径为r那么L，R,r的大小关系是（）（A）L＞R+r（B）LR+r（C）6LR+r6L（D）以上结论都不对11.已知：四边形ABCD内有一点E，连结AE，BE，CE，DE将四边形分成四个面积相等的三角形.那么下列甲、乙、丙三个命题中()(A)只有甲正确.(B)只有乙正确.(C)甲乙丙都正确.(D)甲乙丙都不正确.甲.ABCD是凸多边形；乙.E是对角线AC的中点或BD的中点；丙.ABCD是平行四边形.(1987年全国初中数学联赛题)12.如图，等边三角形ABC各边与圆交于D，E，F，G，H，I六个点，已知AG=2，GF=13，FC=1，HI=7，那么DE的长是()(A)13.(B)10.(C)222.(D)9.13.九条直线平行于三角形的底边，分其他各边成10条相等的线段，同时将面积分为10个不同的部份.若这些部份中的最大面积是38.那么原三角形的面积是（）.（A）180.（B）190.（C）200.（D）210.（E）240.（1971年美国中学数学竞赛题）14.如图三圆每一个都外切于其他两个圆，并且三角形的每一边与圆中的两个相切，若每个圆的半径是8，那么三角形的周长是（）.（A）36＋92（B）36＋63.（C）36＋93.（D）18＋183.（E）45.（1977年美国中学数学竞赛题）15.已知：BD，CE是△ABC的中线，M，N分别是BD，CE的中点，那么：MN∶BC等于（）.（A）1∶4（B）1∶3（C）1∶2（D）非以上的答案练习题参考答案123456789101112131415BBCBDBDADDBCDDA提示：1.EF是AC的中垂线，用直接计算法，2.用验证法6×2=3×4=4×33.求出次大边为9，符合条件的有11，9，8；12，9，7；13，9，6.4.每增一点可增加2个三角形，7×2+1.1.两底为7，14.∵两底差与、两腰要能组成一个三角形.2.设G为重心，根据重心定理可知ABBG.3.用淘汰法排除8.最大边平方大于其他两边的平方和.9.A，B，C都可能成立10.可用画图举出反例11.用等底等高三角形面积相等12.设CE=x,DE=y,用割线定理计算.71132FDIHEBCAG