河南省洛阳市新安县2017年九年级数学竞赛试卷含答案

新安县2017年初中数学竞赛试卷九年级温馨提示：1.本试卷共8页，三大题，满分150分。考试时间120分钟。2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。题号一二三总分数1-1011-202122232425分数一、选择题（每小题4分，满40分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题前小括号内1.下列说法中不正确的是（）A.若a为任一有理数，则a的倒数是B.若∣a∣＝∣b∣，则a＝±bC.x2＝（－2）2，则x＝±2D.x2＋1一定是正数2.图中从三个方向看所得的图形所对应的直观图是（）3.mmmmmm15462的值（）A.是正数B.是负数C.是非负数D.可为正也可为负4.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC;②AD＝BC;③OA＝OC;④OB＝OD,从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A.3种B.4种C.5种D.6种5.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴得分评卷人对称图形的概率为（）A.41B.31C.21D.436.如图所示，半径为5的☉A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于（）A.241B.234C.4D.37.如图所示，P为☉o的直径BA延长线上一点，PC与☉O相切.切点为C.点D是☉O上一点，连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论：①PD与☉O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.18.如图，在平面直角坐标系中，放置一个半径为1的圆，与两坐标轴相切，若该圆沿x轴正方向滚动2016圈后（滚动时在x轴上不滑动），则该圆的圆心坐标为（）A.（4032π＋1，0）B.（4032π＋1,1）C.（4032π－1，0）D.（4032π－1,1）9.如图所示，平行四边形ABCD中，AB：BC=3:2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）A.3:4B.13:25C.13:26D.23:1310.如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点，动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止。连接MP，设点P运动的路程为x，MP²＝y，则y与x之间的函数关系图象大致为（）二、填空题（每小题4分，满40分）11.关于x的方程1222xax的解为负数，则a的取值范围为.已知abc≠0，且a+b+c=0，则代数式abccabbca222的值为.13.若关于x的方程ax²－2x＋1＝0有两个实数根，则a的取值范围是.14.已知∠AOB＝3∠BOC，射线OD平分∠AOC，若∠BOD＝20°，则∠BOC的度数为.15.如图所示，点A（－1，m）和B（2，m＋33）在反比例函数y＝xk的图象上，直线AB与x轴交于点C，则点C的坐标是.16.如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，点E,F,G分别为AB,AC,BC的中点，点P是线段EF上的一个动点，连结BP,GP，则△BPG的周长的最小值等于.得分评卷人17.如右图所示，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，且AE＝3AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连结BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE;②PF＝2PE;③FQ＝4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是.18.已知关于x的方程2kx²－2x－3k－2＝0的两实数根一个小于1，另一个大于1，则K的取值范围是.19.已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图像与x轴交于点（－2,0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0,2）的下方，判断下列结论：①4a－2b＋c＝0；②a＜b＜0；③2a＋c＞0；④2a－b＋1＞0，其中正确的结论有个.20.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点（不与B,C重合），连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F，则CF的取值范围是.三、解答题（共5个小题，满70分）21.（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2.在以AB的中点O为坐标原点、AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A1处。求图中阴影部分的面积.得分评卷人22.（15分）已知关于x的一元二次方程2x²＋4x＋k－1＝0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x²＋4x＋k－1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y＝12x＋b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围.23.（15分）如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连结ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.解决问题：（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.24.（15分）问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A,B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求HFAC的值.（1）初步尝试如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D,E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH,再证GF=CF，从而求得HFAC的值为；（2）类比探究如图②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D,E的运动速度之比是3:1，求HFAC的值；（3）延伸拓展如图③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记ACBC=m，且点D,E的运动速度相等，试用含m的代数式表示HFAC的值（直接写结果，不必写解答过程）25.（15分）如图所示，已知抛物线y＝－x²＋2x＋3与x轴交于两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结BC.（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线与点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。新安县2017年初中数学竞赛试卷九年级参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共40分）1-5ACBBC6-10DABDB二、填空题（每小题4分，共40分）11.a＞0且a≠212.313.a≤1且a≠014.100或20015.（1,0）16.317.①④18.k＞0或k＜-419.420.0＜CF≤1225三、解答题（共70分，共5个小题）21.解：因为∠ACB=90°，AC=BC=2，所以AB=BA=22，在△A´OB中，因为OB=21A´B，所以∠A´BO=60°，则343602260S2AAB扇形，22221SSABCCBA△△，32360260S2CBC扇形，所以CBCABCCBAAABSS-SSS扇形△△扇形阴影=CBCABDSS扇形扇形=323234……10分22.解：（1）由题意，得△=16-8（k-1）≥0.∴k≤3.∵K为正整数，∴k=1，2,3.……5分（2）当k=1时，方程2x²+4x+k-1=0有一个根为零；当k=2时，因为x1x2=12，所以方程2x²+4x+k-1=0无整数根；当K=3时，方程2x²+4x+k-1=0有两个非零的整数根.综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去；k=3符合题意.当k=3时，二次函数为y=2x²+4x+2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y=2x²+4x-6.……10分（3）设二次函数y=2x²+4x-6的图象与x轴交于A,B两点，则A（-3,0）B（1,0）.依题意翻折后的图象如右图所示.当直线y=12x+b经过点A时，可得b=23；当直线y=21x+b经过点B时，可得b=21.由图像可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为21＜b＜23.……15分23.解：（1）E点是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由如下：因为∠DEC=45°，所以∠DEA+∠CEB=135°；因为∠A=45°，所以∠ADE+∠AED=135°，所以∠ADE=∠CEB，所以△ADE∽△BEC，所以E点是四边形ABCD的边AB上的相似点.……5分（2）作法：以CD为直径作圆，它与AB交于E1、E2点，E1、E2点即为所作.……10分（3）点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，可分为两种情况.第一种情况：△MAE∽△EBC∽△MEC，则有：ABAECDAEECAEMEAM.过E点作EN⊥MC于N点.由角平分线性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”易证AE=EN=EB.则E为AB中点，AMME=12，∠MEA=∠ECB=30°，33BCEB,332BCAB.第二种情况：△MAE∽△EBC∽△CEM，则∠CEB=∠ECM,CM∥EB，与题意不符，假设不成立.综上所述，322BCAB.………15分24.解：（1）2；……5分（2）如图2，过点D作DG∥BC，交AC于点G，则∠ADG=∠B=90°.∵∠BAC=∠ADH=30°，∴∠HGD=∠HDG=60°.∴AH=DH=GH=GD,AD=3GD由题意可知，AD=3CE，∴GD=CE.∵DG∥BC，∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF.∴△GDF≌△CEF.∴GF=CF.∴GH+GF=AH+CF.即HF=AH+CF.∴HFAC=2.……10分（3）HFAC=m1m.解法提示：如图3，过点D作DG∥BC，交AC于点G，则AD=AG,DH=DG,AD=EC.∴ACBCAHGHDHGHADGD=m.∴GH=mAH.又∵DG∥BC，∴ADGDECGDFCFG=m.∴AHGHFCFG=m.∴FG=mFC.∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF）.即HF=m（AC-HF）.得HFAC=m1m.………15分25.解：（1）设x=0，得y=3，所以点C坐标为（0,3），设y=0，得x1=-1，x2=3，所以点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（3,0）.……4分（2）易求得直线BC的解析式为y=-x+3，设点P的坐标为（x，-x+3）（0＜x＜3），因为PM∥y轴，所以点M坐标为（x，-x2+2x+3），所以PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x.因为S△BCM=S△PCM+S△PBM=21×PM×3=23PM,所以当x=23时，S△BCM最大.此时点P的坐标为（23,23），所以PN=23，BN=23，BP=223，所以C△BPN=3+223.……10分（3）抛物线的对称轴为x=1，设点Q的坐标为（1，a），所以CQ²=（a-3）2