高中数学竞赛函数和解析几何练习附答案

函数和解析几何练习1.已知fθ=asinθ+bcosθ，θ[0,]，且1与2cos2θ2的等差中项大于1与sin2θ2的等比中项的平方．求：1当a=4,b=3时，fθ的最大值及相应的θ值；2当ab0时，fθ的值域．解：易得1+2cos222sin22，∴1+2cos222sin22，即2(cos22－sin22)－1，∴2cos－1，即cos－12.∵[0,]，∴[0,23).2分(1)当a=4,b=3时，有f()=4sin+3cos=5sin(+)(其中=arctan34).∵0≤23，∴≤+23+，而0=arctan344.∴当+=2即=2－arctan34时,f()max=5.5分(2)由（1）知，当ab0时，设x=bcosy=asin，则有x2b2+y2a2=1。∵0≤23,∴0≤y≤a,－b2x≤b，其方程表示一段椭圆弧，端点为M(b,0)，N(－b2,3a2)，但不含N点。7分设f()=x+y=t，则y=－x+t为一直线。将y=－x+t代入x2b2+y2a2=1可得(a2+b2)x2－2b2tx+b2(t2－a2)=0。当直线与椭圆相切时，有△=4b4t2－4b2(a2+b2)(t2－a2)=4b2[b2t2－(a2+b2)(t2－a2)]=0。求得t=±a2+b2，∴f()max=a2+b2。9分当直线过点M(b,0)时，有f()=b；当直线过点M(－b2,3a2)时，有f()=3a－b2。当a3b时，f()min=3a－b2；当a≥3b时，f()min=b。11分故当0ba3b时，f()(3a－b2,a2+b2]；当a≥3b0时，f()[b,a2+b2]。2.已知椭圆C的方程为x2+y22=1，点Pa,b的坐标满足a2+b22≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：1点Q的轨迹方程；2点Q的轨迹与坐标轴交点个数。解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x,y)，(1)①当x1≠x2时，不妨设直线l的斜率为k，其方程为y=k(x－a)+b，由x12+y122=1x22+y222=1可得(x1－x2)(x1+x2)+12(y1－y2)(y1+y2)=0，∴x1+x22+12·y1+y22·y1－y2x1－x2=0,3分由x=x1+x22,y=y1+y22,且y－bx－a=y1－y2x1－x2,∴Q点的轨迹方程为2x2+y2－2ax－by=0.（*）6分②当x1=x2时，斜率k不存在，此时，l//y轴，∴AB的中点Q必在x轴上，即Q(a,0)，显然满足方程（*）。7分综上，Q点的轨迹方程为2x2+y2－2ax－by=0.8分(2)当a=b=0时，Q点的轨迹与坐标轴只有一个交点(0,0)；当a=0，0|b|≤2时，Q点的轨迹与坐标轴有两个交点(0,0)，(0,b)；当b=0，0|a|≤1时，Q点的轨迹与坐标轴有两个交点(0,0)，(a,0)；当0|a|1，0|b|2(1－a2)时，Q点的轨迹与坐标轴有三个交点(0,0)，(a,0)，(0，b).3.1直线m：y=kx+1与双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点。求k的取值范围；2直线l过点P－2,0及线段AB的中点，CD是y轴上一条线段，对任意的直线l都与线段CD无公共点。试问CD长的最大值是否存在？若存在，请求出；若不存在，则说明理由。(1)解y=kx+1x2－y2=1得(1－k2)x2－2kx－2=0。1分直线与双曲线左分支有两个交点，不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有△=4k2+8(1－k2)0x1+x2=2k1－k20x1x2=－21－k20，解得1k2.5分(2)设AB中点为M(x,y)，则x=k1－k2y=k·k1－k2+1=11－k2，直线l：y=1－2k2+k+2(x+2),7分代入x=0，交y轴于(0,b)，则b=2－2k2+k+2。8分又f(k)=－2k2+k+2=－2(k－14)2+178在k(1,2)上是减函数，∴2－2=f(2)f(k)f(1)=1,∴b－(2+2)或b2,10分故与l无公共点的线段CD长有最大值2－[－(2+2)]=4+2。12分4.已知函数1,0)(aaaaaxfxx.（1）求)1()(xfxf及109103102101ffff的值；（2）是否存在自然数a，使21)(nnfnfa对一切Nn都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；（3）利用（2）的结论来比较3lg141nn和！nlgNn的大小．解（1）1)1()(xfxf；29109103102101ffff．2分（2）假设存在自然数a,使21)(nnfnfa对一切Nn都成立.由aaanfnn)(,naaanf)1(得nnaaaanfnfa1，4分当2,1a时，不等式2nan显然不成立．5分当3a时，23nann，当1n时，显然13,6分当2n时，2)1(221421221213nnnnnnnCC=2212nn成立，则23nn对一切Nn都成立．8分所以存在最小自然数3a。9分（3）．由23nnnn23（Nn），所以01321，02322，……，032nn，相乘得!3,!3412121nnnnn，11分∴3lg141nn!lgn成立．12分5．已知),2(|2|lg)1()(2Raaaxaxxf（Ⅰ）若)(xf能表示成一个奇函数)(xg和一个偶函数)(xh的和，求)(xg和)(xh的解析式；（Ⅱ）若)(xf和)(xg在区间])1(,(2a上都是减函数，求a的取值范（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较61)1(和f的大小．解：（Ⅰ）设)()()(xhxgxf①，其中)(xg是奇函数，)(xh是偶函数，则有)()()()()(xhxgxhxgxf②联立①，②可得xaxg)1()(，|2|lg)(2axxh（直接给出这两个函数也给分）…3分（Ⅱ）函数xaxg)1()(当且仅当01a，即1a时才是减函数，∴1a又4)1(|2|lg)21(|2|lg)1()(222aaaxaxaxxf∴)(xf的递减区间是)21,(a……5分由已知得21)1(2aa∴21)1(12aaa解得123a∴a取值范围是)1,23[……8分（Ⅲ）)123(|2|lg2|2|lg)1(1)1(aaaaaf|2|lg)1(aa和在)1,23[上为增函数……10分∴21lg21|2)23(|lg)223()1(f61101lg312181lg3121∴61)1(f即61)1(大于f.……14分6．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）若01x，02x，121xx，则有)()()(2121xfxfxxf。（Ⅰ）试求f(0)的值；（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x。解：（Ⅰ）令021xx，依条件（3）可得f(0+0)≥f(0)+f(0)，即f(0)≤0。又由条件（1）得f(0)≥0，则f(0)=0……………………3分（Ⅱ）任取1021xx，可知]1,0(12xx则)()(])[()(1121122xfxxfxxxfxf……………5分即0)()()(1212xxfxfxf，故)()(12xfxf于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，…………………7分（Ⅲ）证明：研究①当]1,21(x时，f(x)≤12x②当]21,0(x时，首先，f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴)2(21)(xfxf………………9分显然，当]21,21(2x时，21)1(21)212(21)21()(fffxf成立。假设当]21,21(1kkx时，有kxf21)(成立，其中k＝1，2，…当]21,21(12kkx时，111212121)21(21)212(21)21()(kkkkkfffxf可知对于]21,21(1nnx，总有nxf21)(，其中n=1，2，…而对于任意]21,0(x，存在正整数n，使得]21,21(1nnx，此时xxfn221)(……………………11分③当x=0时，f(0)=0≤2x………………12分综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x)≤2x成立。7．对于函数)0(2)1()(2abxbaxxf，若存在实数0x，使00)(xxf成立，则称0x为)(xf的不动点.（1）当a=2，b=－2时，求)(xf的不动点；（2）若对于任何实数b，函数)(xf恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若)(xfy的图象上A、B两点的横坐标是函数)(xf的不动点，且直线1212akxy是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围.解),0(2)1()(2abxbaxxf（1）当a=2，b=－2时，.42)(2xxxf设x为其不动点，即.422xxx则.04222xx)(.2,121xfxx即的不动点是－1，2.（2）由xxf)(得：022bbxax.由已知，此方程有相异二实根，0x恒成立，即.0)2(42bab即0842aabb对任意Rb恒成立..2003216.02aaab（3）设),(),,(2211xxBxxA，直线1212akxy是线段AB的垂直平分线，1k记AB的中点).,(00xxM由（2）知,20abx.12122,12122aababakxyM上在化简得：22(421221121122aaaaaaab当时，等号成立）.即.42b∴b[－24,0).8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)3,1(M、)1,5(N，若点C满足ONtOMtOC)1(（Rt），点C的轨迹与抛物线xy42交于A、B两点.（Ⅰ）求证：OA⊥OB；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点)0,(mP，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：1）由ONtOMtOC)1(（Rt）知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：)1(4)3(13xy即4xy…………….2分由016124)4(44222xxxxxyxy∴1621xx1221xx∴1616)(4)4)(4(212121xxxxxxyy∴02121yyxx故OA⊥OB.…………6分2）存在点)0,4(P，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点由题意知：弦所在的直线的斜率不为零…………………………………7分故设弦所在的直线方程为：4kyx代入xy2得01642kyy∴kyy4211621yy116161644212222112211