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2018-2019学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．1．若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【考点】交叉相乘法则．【解析】各选项中，对比例交叉相乘，可知，只有A与已知条件相符。故选：A．2．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9B．2：3C．：D．16：81【考点】相似多边形的性质．【解析】∵两个相似多边形的周长比等于面积的比的平方，所以，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．3．已知函数y=（m﹣3）x是二次函数，则m的值为（）A．﹣3B．±3C．3D．±【考点】二次函数的定义．【解析】∵函数y=（m﹣3）x是二次函数，∴，解得：m=﹣3．故选：A．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD=1，BD=2，那么的值为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3【考点】平行线分线段成比例．【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵AD=1，DB=2，∴=，∴=．故选：B．5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A．B．C．D．【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；GA：反比例函数的应用．【解析】设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，∵过（2，3），∴k=3×2=6，∴I=，故选：D．6．反比例函数y=的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），∴y1=﹣3，y2=，∵﹣3＜，∴y1＜y2．故选：A．7．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中正确的是（）A．a+b+c＞0B．ab＞0C．b+2a=0D．当y＞0，﹣1＜x＜3【考点】二次函数图象与系数的关系．【解析】A、由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故本选项错误，B、由对称轴x＞0．可得﹣＞0，可得ab＜0，故本选项错误，C、由与x轴的交点坐标可得对称轴x=1，所以﹣=1，可得b+2a=0，故本选项正确，D、由图形可得当y＜0，﹣1＜x＜3．故本选项错误，故选：C．8．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10mB．15mC．20mD．22.5m【考点】二次函数的应用．【解析】根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，﹣1）的二次函数的解析式y=x2+2x﹣1．【考点】二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．【解析】根据题意得：y=x2+2x﹣1，故答案为：y=x2+2x﹣110．已知，则=．【考点】比例的性质．【解析】，得x=y，把x=y，代入=．故答案为：．11．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为y=（x﹣3）2+1．【考点】二次函数图象与几何变换．【解析】抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把（0，1）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，1），所以平移后的抛物线为y=（x﹣3）2+1．故答案为y=（x﹣3）2+1．12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为6．【考点】抛物线与x轴的交点．【解析】∵x=1是方程2ax2+bx=3的根，∴2a+b=3，∴当x=2时，函数y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=6，故答案为6．13．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是100米．【考点】相似三角形的应用．【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°．又∵∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即．解得：AB=100米．故答案为：100米14．如图，C1是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为y=﹣（x＞0）．【考点】反比例函数的图象；G4：反比例函数的性质；G7：待定系数法求反比例函数解析式；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【解析】∵C2与C1关于x轴对称，∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，∵点A（2，1），∴A′坐标（2，﹣1），∴C2对应的函数的表达式为y=﹣，故答案为y=﹣．15．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为4m．【考点】相似三角形的应用；U5：平行投影．【解析】如图：过点C作CD⊥EF，由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，∴∠E=∠DCF，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，有=；即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．16．如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为（﹣1，0）或者（1，0）或者（﹣4，0）时，使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似．【考点】坐标与图形性质；S9：相似三角形的判定与性质．【解析】∵点C在x轴上，∴∠BOC=90°两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，若OC与OA对应，则OC=OA=4，C（﹣4，0）；若OC与OB对应，则OC=1，C（﹣1，0）或者（1，0）．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）17．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是（0，﹣3），与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x……y……（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．【考点】二次函数的图象；H9：二次函数的三种形式；HC：二次函数与不等式（组）．【解析】（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4；（2）令x=0，则y=﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），又y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）．故答案是：（0，﹣3）；（3，0）（﹣1，0）；（3）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案是：x＜﹣1或x＞3．18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【解析】∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴，又∵DE=2，BC=3，AC=6，∴，∴AE=4．19．（5分）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式．【解析】∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，﹣2）两点，∴，解得：，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x+1．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x+1的图象的一个交点为A（﹣1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=的值的范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【解析】（1）∵点A在一次函数y=﹣x+1的图象上，∴m=﹣（﹣1）+1=2，∴点A的坐标为（﹣1，2）．∵点A在反比例函数的图象上，∴k=﹣1×2=﹣2．∴反比例函数的表达式为y=﹣．（2）令y=﹣x+1=0，解得：x=1，∴点B的坐标为（1，0），∴当x=1时，=﹣2．由图象可知，当x＜1时，y＞0或y＜﹣2．21．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．【考点】平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【解答】（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6．∴．∴．22．（5分）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣2x2+4x+16（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？【考点】一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用．【解析】（1）y=（4﹣x）（4+2x）=﹣2x2+4x+16，故答案为：y=﹣2x2+4x+16；（2）根据题意可得：﹣2x2+4x+16=16，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），答：BE的长为2米．23．（6分）已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【解答】（1）证明：令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0，∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1=（4m2﹣4m+1）﹣（4m2﹣4m）=1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x=0，根据题意有：m2﹣m=﹣3m+3，解得m=﹣3或1．24．（6分）已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．【考点】相似三角形的应用．【解析】如图，∵HE∥DF，HC∥AB，∴△CDF∽△ABE∽△CHE，∴AE：AB=CF：DC，∴AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米，由比例可知：CH=1.5米＞1米，故影响采光．25．（6分）如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y