解创新数列之匙（理）

专题18解创新数列之匙一．【学习目标】1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．【知识要点】1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．二．【方法总结】1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意.(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前n项和公式求解，或通过探索、归纳、构造递推数列求解.(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解程序(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解.(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题.三．题型典例分析1.数列与函数的综合例1.设函数fx是定义在0,上的单调函数，且对于任意正数,xy有，已知112f，若一个各项均为正数的数列na满足，其中nS是数列na的前n项和，则数列na中第18项18a（）A.136B.9C.18D.36【答案】C【方法规律总结】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知nS求na的一般步骤：（1）当1n时，由11aS求1a的值；（2）当2n时，由，求得na的表达式；（3）检验1a的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示na；（4）写出na的完整表达式练习1.设函数fx是定义在0,上的单调函数，且对于任意正数,xy有，已知112f，若一个各项均为正数的数列na满足，其中nS是数列na的前n项和，则数列na中第18项18a（）A.136B.9C.18D.36【答案】C【解析】∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f[12an（an+1）]∵函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{an}各项为正数∴Sn=12an（an+1）①当n=1时，可得a1=1；当n≥2时，Sn-1=12an-1（an-1+1）②，①-②可得an=12an（an+1）-12an-1（an-1+1）∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0∵an＞0，∴an-an-1-1=0即an-an-1=1∴数列{an}为等差数列，a1=1，d=1；∴an=1+（n-1）×1=n即an=n所以1818a故选C练习2.已知是R上的奇函数，，则数列na的通项公式为（）．A.nanB.2nanC.1nanD.【答案】C【解析】∵是奇函数，∴，令12x，，令12x，，∴，∴，令112xn，∴，令112xn，∴，∵，∴，同理可得，，∴，故选C练习3.设等差数列na的前n项和为nS，已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令f(x)=x3+2016x,则f′(x)=3x2+20160，所以f(x)在R上单调递增,且f(x)为奇函数。由条件得,f(20131a)=−1,f(41a)=1，∴,从而4a+2013a=2，又等差数列na的前n项和为nS，所以2016S===2016，因为f(20131a)=−1,f(41a)=1,f(x)在R上单调递增，所以41a20131a,即4a2013a，故选：D.练习4.数列12,,,naaa是正整数1,2,,n的任一排列，且同时满足以下两个条件：①11a；②当2n时，().记这样的数列个数为fn.（I）写出的值；（II）证明2018f不能被4整除.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）依题意，易得：；（2）把满足条件①②的数列称为n项的首项最小数列.对于n个数的首项最小数列，由于11a，故22a或3.分成三类情况，利用已知条件逐一进行验证即可.试题解析：（Ⅰ）解：.（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n项的首项最小数列.对于n个数的首项最小数列，由于11a，故22a或3.（1）若22a，则构成1n项的首项最小数列，其个数为1fn；（2）若，则必有44a，故构成3n项的首项最小数列，其个数为3fn；（3）若23,a则3=4a或35a.设1ka是这数列中第一个出现的偶数，则前k项应该是，1ka是2k或22k，即ka与1ka是相邻整数.由条件②，这数列在1ka后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在1ka之后，故1ka后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：，5n.由此递推关系和（I）可得，各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又，所以2018f被4除的余数与2f被4除的余数相同，都是1，故2018f不能被4整除.2特殊数列例2.已知数列,则2017a一定是A.奇数B.偶数C.小数D.无理数【答案】A【解析】因为,所以,则数列na从第3项开始,每一项均为其前两项的和,因为前两项均为1,是奇数,所以从第三项开始,第3n项均为偶数,第3n+1项均为奇数,第3n+2项均为奇数,所以2017a一定是奇数.【方法规律总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.练习1已知数列na满足，则10a（）A.30eB.40eC.1103eD.1003e【答案】C【解析】∵∴∴，∴231nnnae（）∴100310ae故选C.练习2.．设nS为数列na的前n项和，，且1232aa.记nT为数列1nnaS的前n项和，若，则m的最小值为（）A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】由2an﹣an﹣1=3•2n﹣1（n≥2），得，由2an﹣an﹣1=3•2n﹣1（n≥2），且3a1=2a2，可得2a2﹣a1=6，即2a1=6，得a1=3．∴数列{12nna}是以12为首项，以14为公比的等比数列，则∴（2+22+23+…+2n）2•2n﹣21﹣n．∵对∀n∈N*，Tn＜m，∴m的最小值为13．故答案为A。【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0比研究单调性，直接研究表达式的单调性。3.数列的性质例3.已知数列则7a（）A.12B.14C.14或1D.12【答案】B【解析】由条件可知，两边去倒数得是等差数列，故，故得故答案选B．【方法总结】已知数列要求通项，可以两边取倒数，得到1na是等差数列，已知11a可以求出111a，再根据等差数列的性质求出数列的通项公式，，再取倒数可以求出21nan，代入n=7,求得结果即可.练习1.数列na定义为10a，11aa，，*nN（1）若，求的值；（2）当0a时，定义数列nb，，，是否存在正整数,ijij，使得.如果存在，求出一组,ij，如果不存在，说明理由.【答案】(1)2；(2)答案见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得，裂项求和有的值是2；(2)结合所给的递推关系讨论可得存在一组满足题意.试题解析：(1)所以故所以（2）由得，两边平方所以当1kba时，由知又，数列na递增，所以21kba类似地，又所以存在正整数,ijij，存在一组练习2.在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为nA，令．(1)数列na的通项公式为na=____________；(2)=___________．【答案】22n;【解析】1设在数1和2之间插入n个正数，使得这2n个数构成递增等比数列nb则，即12nqq，为此等比数列的公比故数列na的通项公式为22nna2由1可得，又,*nN故答案为练习3.已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为nA和nB，且，55ab，nnab为整数的正整数n的取值集合为．【答案】9；2,3,5,11【解析】试题分析：由等差数列的性质和求和公式可得，可得n的取值。即13n或14n或16n或n112,从而n2,3,5,11,即集合为23511，，，故nnab为整数的正整数n的取值集合为23511，，，4．数学文化与数列的应用例4某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入gn是生产时间n个月的二次函数（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．（1）求前8个月的累计生产净收入8g的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．【答案】（1）；（2）经过9个月投资开始见效。【解析】试题分析:（1）根据g（3）得到k，再计算g（5）和g（5）﹣g（4），而g（8）=g（5）+3[g（5）﹣g（4）]，从而得到结果；（2）求出投资前后前n个月的总收入，列不等式解出n的范围即可．试题解析（1）据题意，解得100k，第5个月的净收入为5g万元，所以，万元（2）即要想投资开始见效，必须且只需，即当时，即不成立；当5n时，即，验算得，9n时，所以，经过9个月投资开始见效。练习1．用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计算．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)参考数据：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.【答案】详见解析.【解析】试题分析:购买当天先付款后，所欠款数可求，用20个月还清，月利率为1%，按复利计息，分期付款的总款数，是等比数列的前20项和，求出可得买这件家电实际付款数，以及每个月应还款数.试题解析:由题易得x(1＋1%)19＋x(1＋1%)18＋…＋x(1＋1%)＋x＝1000(1＋1%)20，即x·＝