初中数学竞赛专题选讲----函数的图象

初中数学竞赛专题选讲函数的图象一、内容提要1.函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.例如一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象是一条直线l.①l上的任一点p0(x0,y0)的坐标，适合等式y=kx+b,即y0=kx0+b；②若y1=kx1+b，则点p1(x1,y1)在直线l上.2.方程的图象：我们把y=kx+b看作是关于x,y的二元一次方程kx－y+b=0,那么直线l就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0(a,b,c是常数，a≠0,b≠0)叫做直线方程.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.例如：二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)(即二次函数)的图象是抛物线；二元分式方程y=xk(k≠0)(即反比例函数)的图象是双曲线.3.函数的图象能直观地反映自变量x与函数y的对应规律.例如：①由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；②由图象的上升，下降反映函数y是随x的增大而增大(或减小)；③函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y0,y0,y=0.图象所对应的横坐标就是不等式f(x)0,f(x)0的解集和方程f(x)=0的解.④两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4.画函数图象一般是：①应先确定自变量的取值范围.要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.二、例题例1.右图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，试决定a,b,c及b2－4ac的符号.解：∵抛物线开口向下，∴a0.∵对称轴在原点右边，∴x=－ab20且a0,∴b0.∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上，∴截距c0.∵抛物线与横轴有两个交点，∴b2－4ac0.例2.已知：抛物线f：y=－(x－2)2+5.试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的方程；以及f关于x轴对称的曲线f2的方程.画出f1和f2的略图，并求：P(x,y)loxy（1）x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的；（2）x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形；（3）求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试题）解：f1：y=－x2+5(由顶点横坐标变化确定的)，f2：y=(x－2)2－5(由开口方向相反确定的).（1）当x≥0时，f1下降，当x≤2时，f2下降，∴当0≤x≤2时，曲线f1和f2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组.5)2(522xyxy，x2－2x－3=0.∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间–1≤x≤3内，设f1上的点P1(x,y1),f2上的点P2(x,y2)，求y1－y2的最大值，可用配方法：y1－y2＝(－x2+5)－[(x－2)2－5]＝－2x2+4x+6＝－2(x－1)2+8.∵－20，∴y1－y2有最大值.当x=1时，y1－y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=21xx的图象.解：自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x－1时，y=－(x+1)－(x－2)=－2x+1；当－1≤x2时，y=x+1－(x－2)=3；当x≥2时，y=x+1+x－2=2x－1.即y=21xx=).2(12)21(3)1(12xxxxx；；x…－2－123…y=－2x+1(x－1)…53y=3(－1≤x2)33y=2x－1(x≥2)35…∴画函数y=21xx的图象如下图：例4.画方程[x]2+[y]2=1的图象，[m]表示不超过m的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：∵[x]2≥0，且[y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1.∴0≤[x]2≤1.∵[m]表示不超过m的最大整数，∴当[x]2=0[x]=00≤x≤1.当[x]2=1[x]=).21(1)01(1xx，自变量x的取值范围是：－1≤x2.如图阴影部分的四个正方形，就是所求方程的图象.只包括各正方形左、下边界，不包括各正方形右、上边界.x－1≤x00≤x11≤x2[x]－101[x]2101[y]2=1－[x]2010[y]0－110y0≤y1－1≤y01≤y20≤y1例5.直线y=x+m与双曲线y=xm在第一象限相交点A，SRt△AOB=3.①求m的值；②设直线与x轴交于点C，求点C的坐标；③求S△ABC.解：①设A坐标为(x,x+m).∵S△AOB=21OB×BA.∴xmmxmxx)(213整理得mmxxmxx2206∴m=6②∵直线与x轴交于点C.把y=0代入y=x+6得x=－6,∴点C的坐标是(－6，0)③∵直线y=x+m与双曲线y=xm在第一象限相交点A，解方程组xyxy66得153153yx即点A的坐标是(－3+15，3+15).∴BC=1536=3+15∴S△ABC=21(3+15)(3+15)=12+315.例6.选择题(只有一个正大确的答案).①函数y=kx+k与y=xk在同一坐标系中的图象的大体位置是()②函数y=1－2xx的图象是()解：①常数k是同一个值，.双曲线y=xk在一、三象限，k0,那么y=kx+k中，当k0时，直线上升且在y轴上的截距为正.所以应选(D)；②注意到y=1－2xx中，当x=0和x=1时y有最大值1，故选(A).三、练习1.填空：①横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿，横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.②点P（x,y）关于横轴的对称点P1的坐标是（），点P关于原点的对称点P2的坐标是（）.③f：y=3(x－2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作＿＿＿＿＿＿＿f关于原点对称的抛物线f2记作＿＿＿＿＿＿＿.④A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（）.点B（－2，3）关于直线y=－x的对称点B，的坐标是（）.2.根据图象位置判断指定的常数的符号①直线y=kx+b经过二、一、四象限，则k,b的符号是＿＿＿＿＿＿②抛物线y=ax2+bx+c的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a__,－ab2______,b______,c_______,b2－4ac______,abac442______aacbb242_____3.选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（）.（A）p=q,r=0.(B)p=－q,r=0.(C)p=q,r=1.(D)p=－q,r=1.（2）下图（2）是二次函数y=ax2+bx+c的图象，如下答案哪个正确？（）（A）a+b+c=0.（B）a+b+c0.（C）a+b+c0.（D）a+b+c值不定.(1)（3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a0,m0,n0它的图象（）(4)两个一次函数y=mx+ny=nx+m且mn0,那么它们在同一坐标系内的图象大致为（）（D）（5）在同一坐标系内，y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是（）5(6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是（）（1983年福建省初中数学竞赛题）4.画下列函数的图象①y=xx2；②y=2x；③y=(x)2；④y=－x.5.有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象.①2yx；②y=x2－2|x|－3.7.这是一张追及图看图回答：①谁追及谁？②谁早出发，早几小时？③甲、乙在这段路程速度各多少？④追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？⑤分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.fx=0.2x+2x-6-5-55105-5201510152025234甲乙S公里t小时8.如图，抛物线L1：y=ax2+2bx+c和抛物线L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；②.求出点B和点C的横坐标；③.若AB＝BC，OC＝OD，求a,b,c的值.9.坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)，试在二次函数y=5910102xx的图象上找出满足yx的所有整点(x,y),并说明理由.(1995年全国初中数学联赛题)（8）-1CBDA1练习题参考答案1.①x=－2,x=0,y=0,y=－x,y=x；②(x,y),(－x,－y)；③y=－3(x－2)2－5,y=－3(x+2)2－5④(3，1)，(－3，2)2.①k0,b0.②正，负，正，负，负，正，负.3.①(A)，②(B)，③(B)，④(C)，⑤(D)，⑥(C)4.①∵x≠0，∴图象不以过原点；②y≥0；③x≥0；④y≤0.5.y=xm2(x是正整数x≤m=5).6.（如图）7.①乙追及甲；②甲先1小时；③时速甲4、乙5千米；④乙用4小时追上甲先走的4千米⑤y甲=4x,y乙=5x8.①∵由图象a,a+1异号，∴L2过A，B，C三点.②－3，－1.③－31，0，31.9.(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).由x2－x+18≤10x.当x≥0时，x2－x+18≤10x,x2－11x+18≤0,(x－2)(x－9)≤0，2≤x≤9,这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；当x0时，x2－x+18≤－10x,x2＋9x+18≤0，（x+6）(x+3)≤0，－6≤x≤－3,这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).[文章来源：教师之家转载请保留出处][相关优质课视频请访问：教学视频网]