初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级)

全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）一、选择题（本大题共6小题，每个小题7分，满分42分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置题号123456得分正确选项1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则A、构成等边三角形B、构成直角三角形C、构成锐角三角形D、三点在同一直线上解：AB的解析式为y=13x+73当x=-4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（）A、4个B、6个C、8个D、12解设三进行三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，a≥7，又b+c＞a，2a＜20a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C3、N=31001+71002+131003，则N的个位数字是（）A、3B、6C、9D、0解31001的个位数字为3，71002的个位数字为9，131003的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C4、P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（）A、120°B、135°C、150°D、以上都不对解：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A易得△P’AB≌△PBC,则P’A=PC,设PA=k，则PB=2k，PC=P’A=3k，连PP’,则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°且PP’=22k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2,∴∠P’PA=90°，∴∠APB=135°选B5、在函数y=-a2+1x（a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-14，y2）（12，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（）A、y1＜y2＜y3B、y3＜y2＜y1C、y3＜y1＜y2D、y2＜y1＜y3∵-（a2+1）＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1＜y2又∵（-1，y1）在第二象限，而（12，y3）在第四象限，∴y3＜y1选C6、已知a+b+c≠0，且a+bc=b+ca=a+cb=p，则直线y=px+p不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限解bpacapcacpba20)()(2pcbacbapcba因此，直线y=px+p不可能通过第四象限，选D二、填空题（本大题有4小题，每小题7分，满分28分）请将正确答案填在下表的指定位置题号78910得分正确答案7、如果a是方程x2-3x+1=0的根，那么分式2a5-6a4+2a3-a2-13a的值是；解根据题意a2-3a+1=0，原式=2a3(a2-3a+1)-(a2+1)3a=-a2+13a=-1，∴填-18、甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比100米多；解设跑道实际长为x米，甲、乙两位机器人的速度分别为v甲，v乙，甲距离终点1米时说花的时间为t，v乙·t=x-2，于是v甲v乙=x-1x-2又设甲到达终点时所花的时间为t’则v甲·t’=x，v乙·t’=x-1.01于是v甲v乙=xx-1.01，因此可得方程x-1x-2=xx-1.01，解得x=101米，因此，这条跑道比100米多1米，填19、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是；解有对称性可知5个三角形中的面积为S0=S’0,S1=S’1,且S0S1=32即2S0=3S1,又2S0+S1=152即3S1+S1=152,S1=258S0=4516又S2+S1=2,∴S2=5-S1=258填25810、有三个含有30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为；解设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦，则三者的弦分别为2，233，1即所求比为2：233：1，填2：233：1三、解答题（本大题共有3小题，第11小题20分，第12、13小题各25分，满分70分）11、已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形证明：∵△ACD≌△BCE∴AD=BE,AM=BN……6分又∵△AMC≌△BNC∴CM=CN,∠ACM=∠BCN……12分又∠NCM=∠BCN-∠BCM∠ACB=∠ACM-∠BCM∴∠NCM=∠ACB=60°∴△CMN是等边三角形……20分12、已知n是大于1的整数求证：n3可以写出两个正整数的平方差证明：n3=（n2）2·4n……8分=（n2）2[(n+1)2-（n-1）2]……15分=[n2(n+1)]2-[n2(n-1)]2……20分∵n（n+1），n（n-1）不仅大于1，而且均能被2整除∴n2(n+1)，n2(n-1)均为正整数因此，命题得证……25分13、已知正整数x、y满足条件：2x+1y=a，（其中，a是正整数，且x＜y）求x和y解∵x≥1，y≥2，2x+1y≤2+12，即a≤212因此a=1或a=2当a=1是，2x+1y=1，若x=1，则1y=-1，与y是正整数矛盾，∴x≠1，若x=2，则1y=0，与y是正整数矛盾，∴x≠2若x≥3，则2x+1y≤23+14＜1，与2x+1y=1矛盾，∴x＜3综上所述，a≠1当a=2时有2x+1y=2，若x=1，则1y=0，与y是正整数矛盾，∴x≠1若x≥3，则2x+1y≤23+14，与2x+1y=2矛盾，∴x＜3因此1＜x＜3，∴x=2，y=1