七年级数学竞赛期末冲刺讲义一(含答案)

期末冲刺讲义（一）：实数、绝对值与一次方程组【知1】每一个十进制循环小数能化为整数或分数，任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数（假定后面没有数了算作0的循环）.（请自行证明）【例1】已知无限循环小数,3733.0.0cbaba求.abc.7,4410,99110,9911)10(22137339991010099102cbaccbacbaba【例2】求201811413111112018113121________.设x20181131，.1111121xx【知2】一个正整数若不是完全平方数，则其平方根为无理数.【例3】求证：332为无理数.若否，设为,qp23262332442266322223qpqpqpqpqp，这与根号2是无理数矛盾【知3】除了常见的平方差公式，和的平方等公式以外，还有一些常用的公式：.222)();)((22222233xzyzxyzyxzyxyxyxyxyx此外，这两个因式分解请务必熟练：11121nnnxxxx；1111212212xxxxxxininnn【例4】,4211123333a3求a..93)43233)(12()12)(12(27121)2(1233333333333aaa【知4】下例是绝对值的和的经典结论，务必掌握其基于数轴的几何意义的原理.注意证明过程中绝对值不等式yxyxyxyx,的应用.【例5】设naaaa321，求naxaxax21的最小值.看作数轴上点x到这n个点的距离之和，当n为奇数时，.21232112121nnnnnnaxxaaxxaaxxaaxaxaxax21nax时，取到最小值：.121231aaaaannnn当n为偶数时，.12212121xaaxxaaxxaaxaxaxaxnnnnn122nnaxa时，取到最小值：.12121aaaaannnn【例6】,215912zyyxx求x+y+z的最大值和最小值.由上例可知：,0639等号全部取到，,2,51,12zyxx+y+z的最大值为8，,最小值为.5.【知5】对于含绝对值的式子，我们可以讨论变量的取值范围解题；也可以利用绝对值不等式配凑常数以获得一步到位求得最大值或最小值的效果.【例7】求12348xxx的最大值..102)42(32)2(184321xxxxxxxx且x=2时能取到.【例8】已知有理数201721,,,aaa满足和为0，且.222212017201720163221aaaaaaaa求证这2017个有理数均为0.设其中有k个正，去绝对值求和，设连等为iammkmkm00)(2017,0同号，则均为0.【知6】对一元一次方程，既要能按部就班，严格按步骤正确解方程，要熟悉一元一次方程无解、唯一解、无穷解的条件；对于特殊的类型，也要能随机应变，巧解方程。应用题也是如此.【例9】解关于x的方程.nmbanxmxbmxnxanmxnxamxbmxanxbnmbnxmxbamxnxa,000;baanbmxba时，anbm，无解；0ba时，x为非nm,的任意实数;ba时，.baanbmx【例10】解方程：02222221212121x（共2018层括号）.424822021212121202120192020201620172019xx（备选）解方程.620192201820172xxx.40360201940362018403620174036xxxx（备选）有十个人要从A地前往12千米外的B地，但自行车不足人手一个，已知步行速度5千米/小时，骑行速度20千米/小时，忽略换车的时间，所有人尽量快地到达B地共用了一个半小时，那么有几辆自行车？.55995.1102012512)10(xxxx【知7】二元一次方程组的解：对于111222,axbycaxbyc当1221abab时，方程组有唯一一组解：2112122112211221,.bcbcxababacacyabab当122112211221;;ababacacbcbc中任两个成立时，方程组有无穷多组解；通常来说，不考虑0的情况，我们用212121ccbbaa来判定.当12211221,ababacac时，方程组无解.通常来说，不考虑0的情况，我们用212121ccbbaa来判定.【例11】5)22()543(,31132yabxbaybaxba有无穷解，求.1314yx.51314,3539542521,51353221543132yxyxbababababa【例12】解方程组：byxyxa5342，其中a、b为实数.换元：0,53,42vubvuvau，10,2.14523baba时，5103,1053yyxyx，其中y为非210、的任意实数;10,2.14523baba时，无解；6512,652202.1aabvabua于是1210aborb时无解.综合12,10,2.1abba时，1265,22065abaybax；10,2.1ba时，5103yyx，其中y为非210、的任意实数;其余情况无解.（备选）在方程组bxyxy21,1中，b为何值时，原方程组有1解，两解或无解？);1(320;220bxxbxx从而1b时有2解；b=1时有1解，b1时无解.【知8】多元一次方程组的求解：方法一：逐步消元，即通过加减消元法同时降低方程个数和变量个数，最终变为二元一次方程组乃至一元一次方程的过程；方法二：特殊法：对于一些对称的多元一次方程组，可以考虑借助整体的代数运算得到结果.【例13】已知x、y、z满足：31,32,21,xyzxyzxyz求x、y、z.23))2(2(1,13130,32132122,32131zyxzxyxzyzyx【例14】解方程组203727,207836,203274,20538zyxwzyxwzyxwzyxw8,8,512,512205,20450)(10)(80wzyxzyzyzwyxyxzwwzyx【知9】含参数的多元一次方程组，一般而言可以通过消元转化成含参数的一元一次方程.【例15】解方程组：2,,21,xyzxmymzmxyzmxmxyxz9)15(325351m时，无解；51m时，1552,1533,159mmzmmymmx【例16】m为整数，方程组352,175yxymx有整数解，求所有的m.)18,8,7,12(3,223345202)2(5334220检验舍去mmmmmymx【习1】化简561015235.2532【习2】有下列几个命题：甲：若、是不相等的无理数，则是无理数乙：若、是不相等的无理数，则是无理数丙：若、是不相等的无理数，则3+是无理数丁：若、、是有理数，则、是有理数.其中正确命题的个数是________.一个。丁【习3】已知三轮车的前轮每行驶1000千米将会磨损毁坏，后轮每行驶1500千米将会磨损毁坏，为要保证一辆新三轮车能够行驶10000千米，至少需要准备多少个备胎？21个【习4】解方程2016201720183403540344033xxx.6051.备选：2016201720183403540344033xxx.60514033140341403516,6)403314034140351)(6051(xx【习5】求1233558813xxxxx的最小值..8981818285,813x【习6】求12335581321xxxxx的最大值..131034【习7】5,4,3,2,1eadecdbcab【习8】3302,530,230,15302,430edcba已知正数a、b、c、d、e、f满足,161,91,41,16,9,4fabcdeeabcdfdabcefcabdefbacdefabcdef求fdbeca的值..1231423134121【习9】3bax恰有三个不相等的解，求b的值.b=3【习10】32,1yxyx34,3134,31yxyx【习11】.22axax.22232:2;22,2:2axoraxaxaa无解；