静电场(一）竞赛辅导讲义

静电场（一）第一讲基本知识介绍在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。如果把静电场的问题分为两部分，一是电场本身的问题、二是对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。一、电场强度1、电荷与电荷守恒定律①电荷分类（基元电荷、点电荷、检验电荷——对电场的检测手段）②带电方法（摩擦、接触、感应）③电荷守恒定律2、库仑定律①内容；②条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′=k/εr）。只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。3、电场强度①电场——带电体周围存在的一种物质，有强有弱。举例说明②电场的性质——力和能③电场强弱的描述：a、电场线，电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。b、电场强度的定义E=qF，E的物理意义④几种特殊的电场决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出——⑴点电荷：E=k2rQ结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，分析等量同种电荷、等量异种电荷周围的电场特点。⑵利用微元与叠加求电场A、举例说明微元与叠加思想，如弹性势能、瞬时速度等等B、例题1：求均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P的电场：E=2322)Rr(kQr，其中r和R的意义见图7-1。C、无限长直导线，电荷线密度为λ，会推导出rKEp2思考1、均匀带电的半圆弧，半径为R，圆心处的电场思考2、均匀带异种电的半圆弧，半径为R，圆心处的电场思考3、无限长均匀带电细线变成AB的半径为R的半圆弧，圆心处的电场D、均匀带电圆盘轴线上的电场（图7-2）电荷的面密度为σ，半径为R2222221212rRrKrRrRRKEp例2：半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS，它在球心O点激发的场强大小为ΔE=k2RS，方向由P指向O点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，ΣixE=ΣiyE=0，最后的ΣE=ΣEz，所以先求PrOOOAB图7-2ΔEz=ΔEcosθ=k2RcosS，而且ΔScosθ为面元在xoy平面的投影，设为ΔS′所以ΣEz=2RkΣΔS′而ΣΔS′=πR2【答案】E=kπσ，方向垂直边界线所在的平面。〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？〖推荐解法〗将半球面看成4个81球面，每个81球面在x、y、z三个方向上分量均为41kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE=ΣEx…〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。E、均匀带电球壳内、外电场内部：E内=0外部：E外=k2rQ，其中r指考察点到球心的距离如果球壳是有厚度的的（内径R1、外径R2），在壳体中（R1＜r＜R2）：E=2313rRrk34，其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔)Rr(3433即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕。F、均匀带电球体内、外电场（球体半径为R）内部：3RKQrEp外部：2rKQEp，其中r指考察点到球心的距离例3、有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R，电荷体密度为ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，OO=a，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P，设OP=r1，PO=r2，则大球激发的场强为E1=k2131rr34=34kρπr1，方向由O指向P“小球”激发的场强为E2=k2232rr34=34kρπr2，方向由P指向O′E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1ΣE和空间位置三角形OPO′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。【答案】恒为34kρπa，方向均沿O→O′，空腔里的电场是匀强电场。〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？〖解说〗上面解法的按部就班应用…〖答〗34πkρq〔23bR−23)ab(R〕。G、无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）利用高斯定理：ES=4πkQ得：E=2πkσ二、电荷在匀强电场中运动问题1、匀强电场2、电荷在匀强电场中加速3、电荷在匀强电场中偏转例4、（2006全国理综Ⅰ卷25题）有个演示实验，在上下面都是金属板的玻璃盒内，放了许多用锡箔纸揉成的小球，当上下板间加上电压后，小球就上下不停地跳动。现取以下简化模型进行定量研究。如图2所示，电容量为c的平行板电容器的极板A和B水平放置，相距为d，与电动势为ε、内阻可不计的电源相连。设两板之间只有一个质量为m的导电小球，小球可视为质点。已知：若小球与极发生碰撞，则碰撞后小球的速度立即变为零，带电状态也立即改变，改变后，小球带电荷符号与该极板相同，电量为极板电量的α倍（α《1）。不计带电小球对极板间匀强电场的影响。重力加速度为g。（1）欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动，电动势ε至少大于多少？（2）设上述条件已满足，在较长的时间间隔T内小球做了很多次往返运动。求在T时间内小球往返运动的次数以及通过电源的总电量。解析：①试题特点：本题源于演示实验的简化模型。命题者将电容器所形成的电场这一具体场景与带电小球作往返运动结合起来，问题设计得非常巧妙，具有极大的综合性与迷惑ABε（图2）性。②从试题结构来看，属于“多体、多过程”的“串联式”结构。小球上下运动通过小球与极板的碰撞串联起来。小球与极板碰撞后小球的带电情况及运动分析成为试题的突破口。当小球与上板碰撞后，小球带正电，作向下的匀加速运动；当小球与下板碰撞后，小球带负电，作向上的匀加速运动。③本题以牛顿力学来求解，求解过程自然、方便，解法如下所示：（1）要使小球能作往返运动，小球所受的电场力大于其重力，设Q为电容器的带电量，q为小球碰撞后所带电量，所以得：Cmgd:CQ可得又其中Qqmgdq（2）当小球与上板碰撞后，小球带正电，作向下的匀加速运动，用a1表示其加速度，t1表示从A到B的时间，则有：ta212111dmamgdq又当小球与下板碰撞后，小球带负电，作向上的匀加速运动，用a2表示其加速度，t2表示从B到A的时间，则有：ta212222dmamgdq又小球在时间T内往返的次数22n222221mgdCmdmgdCmdTttT小球往返一次，电源充电2q，所以T内通过电源的总电量22222nqQ2222211mgdCmdmgdCmdTCttTq例5、（97年高考26题）如图1所示，真空室中电极K发出的电子（初速不计）经过U0＝1000伏的加速电场后，由小孔S沿两水平金属板A、B间的中心线射入。A、B板长l＝0.20米，相距d＝0.020米，加在A、B两板间电压u随时间t变化的u-t图线如图2所示。设A、B间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒，筒在左侧边缘与极板右端距离b＝0.15米，筒绕其竖直轴匀速转动，周期T＝0.20秒，筒的周长s＝0.20米，筒能接收到通过A、B板的全部电子。（1）以t＝0时（见图2，此时u＝0）电子打到圆筒记录纸上的点作为xy坐标系的原点，并取y轴竖直向上。试计算电子打到记录纸上的最高点的y坐标和x坐标。（不计重力作用）（2）在给出的坐标纸（图3）上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图线。解:（1）计算电子打到记录纸上的最高点的坐标设v0为电子沿A、B板的中心线射入电场时的初速度,则①电子在中心线方向的运动为匀速运动，设电子穿过A、B板的时间为t0，则l＝v0t0②电子在垂直A、B板方向的运动为匀加速直线运动。对于恰能穿过A、B板的电子，在它通过时加在两板间的电压uc应满足③联立①、②、③式解得u0＝（2d2）/（12）U0＝20伏此电子从A、B板射出时沿y方向的分速度为vy＝（eu0）/（md）t0④此后，此电子作匀速直线运动，它打在记录纸上的点最高，设纵坐标为y，由图（1）可得（y－d/2）/b＝vy/v0⑤由以上各式解得y＝bd/l＋d/2＝2.5厘米⑥从题给的u-t图线可知，加于两板电压u的周期T0＝0.10秒,u的最大值um＝100伏,因为ucum，在一个周期T0内，只有开始的一段时间间隔△t内有电子通过A、B板△t＝（uc）/（um）T0⑦因为电子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录时刻的规定，第一个最高点的x坐标为x1＝（△t）T/s＝2厘米⑧第二个最高点的x坐标为x2＝（△t＋T0）/s＝12厘米⑨第三个最高点的x坐标为x3＝［（△t＋2T０）/T］s＝22厘米由于记录筒的周长为20厘米，所以第三个最高点已与第一个最高点重合，即电子打到记录纸上的最高点只有两个，它们的x坐标分别由⑧和⑨表示（2）电子打到记录纸上所形成的图线，如图（2）所示。