一个久考不衰的抛物线的性质

一个久考不衰的抛物线的性质山东省实验中学２５０１０９关泺萌图１性质如图１，已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），点Ｐ（ｃ，０），Ｑ（－ｃ，０），过点Ｐ的直线与抛物线交于Ａ、Ｂ两点，则ＱＡ、ＱＢ与ｘ轴所成的锐角相等．证明当直线垂直于ｘ轴时，由对称性可知ＱＡ，ＱＢ与ｘ轴所成的锐角相等．当直线不垂直于ｘ轴时，设直线方程为：ｙ＝ｋ（ｘ－ｃ）．由ｙ２＝２ｐｘ，ｙ＝ｋ（ｘ－ｃ），{消去ｘ，得ｋｙ２－２ｐｙ－２ｐｃｋ＝０．Δ＝４ｐ２＋８ｐｃｋ２＞０，ｙ１＋ｙ２＝２ｐｋ，ｙ１ｙ２＝－２ｐｃ，ｋＱＡ＋ｋＱＢ＝ｙ１ｘ１＋ｃ＋ｙ２ｘ２＋ｃ＝ｃ（ｙ１＋ｙ２）＋ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１（ｘ１＋ｃ）（ｘ２＋ｃ）＝ｃ（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１ｙ２２ｐ（ｙ１＋ｙ２）（ｘ１＋ｃ）（ｘ２＋ｃ）＝（ｙ１＋ｙ２）（２ｐｃ＋ｙ１ｙ２）２ｐ（ｘ１＋ｃ）（ｘ２＋ｃ）＝（ｙ１＋ｙ２）（２ｐｃ－２ｐｃ）２ｐ（ｘ１＋ｃ）（ｘ２＋ｃ）＝０．所以ＱＡ，ＱＢ与ｘ轴所成的锐角相等．这是抛物线的一条重要性质，尽管这条性质很多同学比较熟悉．但是这条性质的精彩之处在于它既是抛物线的一个“传统”性质，又是一个“经典”的结论．所以很受各类命题人员（特别是高考命题人员）的青睐，很多高考试题是以此性质为切入点进行编拟的．例１（２０１３年高考陕西卷理）已知动圆过定点Ａ（４，０），且在ｙ轴上截得的弦ＭＮ的长为８．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹Ｃ的方程；（Ⅱ）已知点Ｂ（－１，０），设不垂直于ｘ轴的直线ｌ与轨迹Ｃ交于不同的两点Ｐ，Ｑ，若ｘ轴是∠ＰＢＱ的角平分线，证明直线ｌ过定点．分析此题的（Ⅱ）实质上是上面性质的一种变式说法，或者说是换了一个新的角度来展示上面的性质．易知直线ｌ恒过定点（１，０）．具体解法略，以下同．例２（２０１５年高考新课标Ⅰ理）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ：ｙ＝ｘ２４与直线ｙ＝ｋｘ＋ａ（ａ＞０）交于Ｍ、Ｎ两点．（Ⅰ）当ｋ＝０时，分别求Ｃ在点Ｍ和Ｎ处的切线方程；（Ⅱ）ｙ轴上是否存在点Ｐ，使得当ｋ变动时，总有∠ＯＰＭ＝∠ＯＰＮ？说明理由．分析此题的（Ⅱ）实质上也是上面性质的一种呈现形式，只不过是把焦点轴改成了ｙ轴．易知存在点Ｐ（０，－ａ），使得当ｋ变动时，总有∠ＯＰＭ＝∠ＯＰＮ．例３（２０１５年高考福建文）已知点Ｆ为抛物线Ｅ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点，点Ａ（２，ｍ）在抛物线Ｅ上，且｜ＡＦ｜＝３．（Ⅰ）求抛物线Ｅ的方程；（Ⅱ）已知点Ｇ（－１，０），延长ＡＦ交抛物线Ｅ于点Ｂ，证明：以点Ｆ为圆心且与直线ＧＡ相切的圆，必与直线ＧＢ相切．分析此题的（Ⅱ）中以点Ｆ为圆心且与直线ＧＡ相切的圆，必与直线ＧＢ相切，说明ｘ轴是∠ＡＧＢ的角平分线．实质上还是ＧＡ，ＧＢ与ｘ轴所成的锐角相等的一种变式说法．例４（山东省实验中学２０１５年高二期末考试）在直角坐标系中，曲线Ｃ：ｙ＝ｘ２４与直线ｙ＝ｋｘ＋ａ（ａ＞０）交于Ｍ，Ｎ两点，点Ａ（０，ａ）．（Ⅰ）当ｋ＝０时，分别求Ｃ在点Ｍ和Ｎ处的切线方程；（Ⅱ）在ｙ轴上是否存在异于Ａ的一点Ｐ，使得当ｋ变动时，总有｜ＰＭ｜｜ＭＡ｜＝｜ＰＮ｜｜ＮＡ｜，说明理由．分析此题系２０１５年山东省实验中学高二期末考试题．据了解，此题得分率很低．一个主要原因是很多同学不能把“｜ＰＭ｜｜ＭＡ｜＝｜ＰＮ｜｜ＮＡ｜”转化为角的平分线问题．事实上，若存在异于Ａ的一点Ｐ，使得当ｋ变动时，总有｜ＰＭ｜｜ＭＡ｜＝｜ＰＮ｜｜ＮＡ｜，即说ｙ轴是∠ＡＰＢ的平分线．即ＰＡ，ＰＢ与ｙ轴所成的锐角相等．以上几例不难看出，此文所涉及的抛物线的性质仍然是高考和各类考试的命题热点之一．当呈现在同学们面前时可能进行了某种程度的改头换面，或适当的变式与包装．只要同学们能看透变式与包装背后的本质性的东西．那么题目无论如何变幻莫测，解决起来我们总能游刃有余和得心应手．７５中学数学杂志２０１８年第１期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ