高中数学竞赛试题

1．设442xxfx，求和122006200720072007fff．2．在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和都是负数，而任意连续11项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明你的结论．3．已知2()fxxpxq，求证(1),(2),(3)fff中至少有一个不小于12．4．已知0ab，解函数方程()()(1)afxbfxcx．5．设cbxaxxf2，cba,,为实数，如果对于所有适合11x的x值，都有11xf成立，则对这些x的值有424bax．6．证明3231122nnn对任何正整数n都是整数，并且用3除时余2．7．已知,ab为非零的不共线向量，设条件M：bab；条件N：对一切xR不等式axbab恒成立．则M成立是N成立的什么条件？证明你的结论．8．设多项式nnnnaxaxaxaxf1110的系数都是整数，并且有一个奇数及一个偶数使得f及f都是奇数，求证方程0xf没有整数根．9．设1110()kkkkPxaxaxaxa，式中各系数(0,1,,)jajk都是整数．今设有4个不同的整数1234,,,xxxx使()(1,2,3,4)ipxi都等于2．试证明对于任何整数,()xpx必不等于1，3，5，7，9中的任何一个．10．已知数列na满足12211,nnnaaaaa，求数列的通项．11．用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的．12．已知凸四边形ABCD，求证这个凸四边形一定可以被,,,ABBCCDDA为直径的半圆共同覆盖．13．在ABC中，设ABAC，过A作ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E、F．证明：DE、DF通过ABC内心和一个旁心．14．设H是锐角△ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线AQAP,,切点分别为QP,.求证:QHP,,三点共线..15．在等边ABC所在的平面上找这样的一点P，使,,PABPBCPAC都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几个．16．过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B．所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使DAQPBC．求证：DBQPAC．17．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2007，并且每一个三角形的三个顶点同色．18．在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形，求证，整点凸五边形内必有整点．19．如图,菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于HGFE,,,,在弧EF与弧GH上分别作⊙O的切线交AB于,M交BC于N,交CD于P,交DA于Q.求证.//NPMQ20．平面上有6个点，任何3点都是一个不等边三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．21．在正方体的8个顶点处分别放上8个不同的正整数，如果他们的和等于55，那么必定能找到一个侧面正方形，其相对顶点所放的数都是奇数．22．设d是异于2，5，13的任一整数．求证在集合2,5,13,d中可以找到两个不同元素,ab，使得1ab不是完全平方数．23．设有211nn个茶杯，开始时，杯口都朝上，现把茶杯随意翻转，规定每次翻转偶数只（翻动过的还可以再翻动），证明，无论翻动多少次，都不可能使杯口都朝下．24．有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？25．证明对任意正整数n，分数214143nn不可约．26．的前24位数字为3.14159265358979323846264，记1224,,,aaa为该24个数字的任一排列，求证12342324aaaaaa必为偶数．27．用n表示n的约数个数，请对122007的奇偶性作出证明．28设p与q为正整数，满足131911318131211qp求证p可被1979整除．29．用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色．求证，存在同色两点，它们的距离为1或为2．30．有n个同学围坐在圆周上4n，若每个学生的两旁都是一男一女，求证n是4的倍数．31．如果从数1，2，,14中按由小到大的顺序取出1a，2a，3a，使同时满足12aa≥3,23aa≥3,那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？32．证明：在任意6个人中，总可以找到3个人互相认识，或互相不认识，并且这种情况至少出现两个．33．在一次乒乓球循环赛中，n名选手中没有全胜的，证明，一定可以从中找到3名选手,,ABC，使得A胜B，B胜C，C胜A．34．甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？35．设有nn22的正方形方格棋盘，在其中任意的n3个方格中放一枚棋子，求证，可以选出n行n列，使得n3枚棋子都在这n行和n列中．36．凸n边形（4n）玫瑰园的n个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，…），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰．⑴求出玫瑰园里玫瑰总棵数()fn的表达式．⑵花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由．37．李明夫妇最近参加了一次集会，同时出席的还有三对夫妻．一见面，大家互相握手，当然夫妻之间不握手，也没有人与同一个人握两次手．握手完毕后，李明统计了包括妻子在内的7个人握手的次数，发现恰好数字互不相同．请问，李明的妻子握了几次手?38．设n是正整数，我们说集合n2,,2,1的一个排列122,,,nxxx具有性质p，是指在12,,2,1n当中至少有一个i，使得nxxii||1，求证对于任何n，具有性质p的排列比不具有性质p的排列的个数多．39．运动会连续开了n天（1n），一共发了m枚奖章．第一天发1枚以及剩下1m枚的17，第二天发2枚以及发后剩下的17，以后每天均按此规律发奖章．在最后一天即第n天发了剩下的n枚奖章，问运动会开了多少天，一共发了多少枚奖章？40．有17位科学家，每一个和其他人都通信，在他们的书信中一共讨论3个题目，而每两个科学家仅仅讨论一个题目，证明，至少有3个科学家，他们互相讨论同一题目．