全国初中数学联赛模拟试卷五及答案

初中数学联赛模拟试卷五一．选择题(本大题共6个小题,每小题只有一个正确答案,选对得5分,选错、不选或多选均得0分)1．已知方程015132)83(2222aaxaaxa至少有一个整数根,则a取自然数().A．1,2,4B．1,3,5C．2,3,4D．3,4,52．方程x|x-1|+4|x|-2=0的实根的个数是()A．3B．4C．5D．63．已知a,b,c都是奇数x1,x2是关于x的二次方程ax2+bx+c=0的二根,则下列论断正确的是().A．x1,x2可以是整数B．x1,x2不可以是整数,但可为有理数C．x1,x2不可以是有理数D．x1,x2一定是无理数4．已知n是自然数,且4n2+17n-15表示两个相邻自然数之积,则n的值有().A．1个B．2个C．3个D．4个5．对于实数x,符号[x]表示不大于x的最大整数,如[3.14]＝3,[-7.59]=-8,关于x的方程41273xxx的根有().A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知m、n是自然数,关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个小于1的正根,则m、n的值是().A．m=1,n=2B．m=2,n=1C．m=1,n=1D．m=2,n=2二．填空题(本大题共6个小题,每小题5分)1．方程||2x+1|-x|=4的解是__________.2．方程19-5x=(x2-7)2的实根是________.3．若关于x的方程||x-4|-12|=a有四个整数解,则自然数a的值是______.4．已知m、n是自然数,且满足49422nmnmnm,则m与n的值分别是____________.5．方程142]32[22xxxx的所有实数根是__________.6．对于任何实数定义][}{xxx,显然0≤{x}1,如{-7,4}=0.6,{3,4}=0.14,则方程[x]2=x{x}的正实数根是________.三．解答题1．(8分)设方程ax2+(3-a)x+a-2=0至少有一个整数解,试求整数a的值和相应方程的整数解.2．(10分)设f(x)=|2x-1|x∈[0,1].试求方程f(f(f(x)))＝21x的实根.3．(10分)解方程|log|1|9||log|22131xx.4．(12分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a、b、c,且abc,试问能否作一条直线l与较长的两边AB、AC相交且平分△ABC的面积和周长？若存在,可作几条？若不存在,说明理由.参考答案一、选择题题号123456答案BACCCB1．解：分解因式,得(ax-2a+3)(ax-a+5)=0所以原方程的两个根分别是axax51,3221欲使x1,x2至少一个为整数,a可取自然数1、3、5,故选B.解2.将原方程变形为关于a的二次方程(x2-3x+2)a2+(8x-13)a+15=0Δ=(8x-13)2-4.15(x2-3x+2)=4x2-28x+49=(2x-7)2xa231,xa152进而推出a=1,3,5.2．解(1)当x0,原方程转化为-x(x-1)-4x-2=0即x2+3x+2=0x1=-2,x2=-1(2)当0≤x1,原方程转化为-x(x-1)-4x-2=0即x2-5x+2=021753x,21754x因为x41,不符合条件,舍去.(3)当x≥1时,原方程变为x(x-1)+4x-2=0即x2+3x-2=021735x.21736x因为x5、x6均小于1,不符合假设条件,舍去.综上所述,原方程有3个根,故选A.3．解：我们假设x1,x2可以是有理数,设qpqpx,,1互质,所以有0)()(2cqpbqpa即有022cqbpqap①因为p、q互质,因而只能有两种情况：(1)p、q都是奇数(2)p、q是一个奇数一个偶数,在(1)情况下,由于a,b,c,p,q都是奇数,所以ap2+bpq+cq2也是奇数,而0是偶数,所以有①式不成立,得出矛盾在(2)情况下,由于a、b、c为奇数,p,q一奇一偶,所以ap2,bpq,cp2两偶一奇,即ap2+bpq+cp2为奇数,也得出矛盾.所以x1、x2不可是有理数,故选C.4．解因为4n2+17n-15表示两个相邻自然数之积，可设4n2+17n-15=(2n+k)(2n+k+1)=4n2+(4k+2)n+k(k+1)因而有kkkn415152②当k=0时,n=1；当k=1时,n=1117；当k=2时,n=3721；当k=3时,n=9.又当k取大于3的自然数时,15-4k0,k2+k+150,由①不可能得到自然数n.当k取负整数,由2n+k≥1,n≥221kk,由①应有2415152kkkk因为15-4k0,可得2k2-17k-300在这种情况下,k只可取-1,而k=-1时,n＝1915综上所述,n可取3个自然数,1,3,9故选C.5．解令tx412,t是整数.则有214tx原方程转化为tt]61712[由[x]的定义,可得t≤161712tt解之得617≤t611.故t可取-1,-2两个数,相应地得到x的两个根23、27.故选C.6．解证nmxxxf24)(2.抛物线nmxxxf24)(2开口向上,对称轴为4422mmx,依题意,得nmmmmfmnmfnf42)4(4)4(140024)1(0)0(2nm42≤0由④得m2≥4n由③得0m4由于m是自然数,所以m可以是1,2,3当m=1时,由⑤得n≤41与n是自然数相矛盾当m=2时,由⑤得n≤1,所以n=1,此种情况满足①、②当m=3时,由⑤得n≤49,由②得n2,所以2n≤49,此种情况自然数n不存在.综上所述m=2,n=1,故选B.二．填空题1．解(1)当21x时,原方程转化为413,4|13|xx,解之得1,3521xx(舍去)(2)当x≥21时,原方程转化为41,4|1|xx解之得x3=3,x4=-5(舍去)所以原方程的解是335xx或2．解去括号整理得x4-14x2+5x+30=0分解因式得(x-2)(x-3)(x2+5x+5)=0①②③④⑤解得x1=2,x2＝3,x3,4255所以原方程的根是2,3,2553．解(1)当x4时,原方程转化为,|8|axax8解之得x1＝-8-a,x2=-8+a(2)当x≥4时,原方程转化为,|16|axx-16=±a解之得x3=16-a,x4=16+a要原方程有4个整数解,应有04164164848aaaaa解这个不等式组,得0a12,由于a是自然数,可取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.故a的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.另解由绝对值的定义,可得ax12|4|要原方程有四个整数解,应有0012012aaa解之得0a12,也得a的值是由1到11的连续的11个自然数.4．解两个整数m+n与m2+mn+n2之比是4:49,可设m+n=4t,m2+mn+n2=49t,其中t是正整数,于是mn=(m+n)2-(m2+mn+n2)=16t2-49t故,m与n是二次方程x2-4tx+16t2-49t=0的两个正整数根,于是)1249(4)4916(41622ttttt≥0解之得0≤t≤1249,又t是正整数,t=1,2,3,4.当t=1,2,3,4时,相应的判别式Δ＝4×37,8×25,12×13,16,只有t=4时,Δ＝16是完全平方数,这时方程①有两个正整数根x1=6,x2=10,因而106nm或610nm5．解令x2-2x=t,原方程转化为[t+3]=2t-1①再设2t-1=n,(n是整数),于是21nt,这时方程①转化为[27n]=n所以n≤27nn+1解之得5n≤7,所以n=6,7(1)当n=6时,27t,x2-2x=27即有2x2-4x-7=0解之得22322,1x(2)当n=7时,4t,x2-2x=4即有x2-2x-4=0解之得514,3x综上所述,原方程所有实数根是2232,51.6．解∵x=[x]+{x}代入原方程,并整理可得解关于{x}的二次方程可得{x}=][251x又∵{x}≥0,且x0,故{x}=][215x因为21)15(21{x}1∴[x]=1或[x]=0当[x]=0时,由①知{x}=0,从而x=0,不合题意,舍去.当[x]=1时,由①知{x}=215,从而知原方程的正数解,x=[x]+{x}=1+215=251三．解答题1．解首先求出ax2+(3-a)x+a-2=0有的条件,得Δ＝(3-a)2-4a(a-2)≥03a2-2a-9≤0∴3281≤a≤3281由于a是整数,所以a是-1,0,1,2.当a=-1时,由-x2+4x-3=0得x=1,3.当a=0时,3x-2=0没有整数解.当a=1时,x2+2x-1=0没有整数解.当a=2时,2x2+x=0得x=0.x=-21(舍)故当a=-1时,x=1,3.当a=2时,x=0.2.解∵|12|)(xxf,x∈[0,1]易得f(x)∈[0,1].f(f(x))=|2f(x)-1|f(f(f(x)))=|2f(f(x))-1|=|2f(x)-1|=|2|2|2x-1|-1|-1|143|78|4321|58||1|34|2|2141|38|410|18||1|14|2|xxxxxxxxxx当当当当(1)当0≤x41时,|8x-1|=x21解之得x1=172,x2=152.(2)当41≤x21时,|8x-3|=x21解之得1763x,522x(3)当21≤x43时,|8x-5|＝x21解之得17105x,326x(4)当43≤x≤1时,|8x-7|=x21解之得x7=1714,x8=1514所以原方程有8个实根:1514,1714,32,1710,52,176,152,1723.解令||log21xy①有291log||log9||log313131yxx.yxx2||log2log21231于是原方程转化为|y+2|+1=2|y|②当y-2时,则方程②化为-y-2+1=-2y解之得y=1与y-2的假设相矛盾,所以在y-2的范围内无解.当-2≤y≤0,则方程②化为y+2+1=-2y解之得y=-1当y0时,则方程②成为y+2+1=2y解之得y=3当y=-1代入①,得1||log31x,解得3x.当y=3代入①,得3||log31x,解得271x.经检验,3x,271x都是原方程的根4．解设存在直线l,分别交AB、AC于D、E且AD＝m,AE＝n(0mc,0nb),依题意,得bcmncbanm21)(21由韦达定理,知m、n是关于x的方程01)(212bcxxcbax①的两个根,设)(21cbap,并令bcpxxxf21)(2∵021)0(bcfbcpbbbf21)(20)(21abb又)(41210cbap)(41cbabba)(21∴抛物线)(xfy对称轴px21在y轴和x=b之间①若0)2(pf,则方程①无实根,这时,与AB、AC相交且同时平分△ABC的面积和周长的直线l不存在.②若0)2(pf,则方程①有两个相等的正根,bpxx2121,符合题意,在AB,AC边上分别取点D、E,使AD＝AE＝p21,则直线DE同时平分△ABC的面积和周长.③若0)2(pf,则方程①有两个相异的正根2221bcppx,2222bcppx,且均