数学竞赛用数列求和

数列求和在全国高中数学联赛中的应用数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。一、基础知识1.常用的数列求和公式：(1)dnnnaaanSnn2)1(2)(11(2)nS)1(11)1()1111qqqaaqqaqnann（(3))1(211nnknk；)12)(1(6112nnnknk；213)]1(21[nnknk2.累加法：给出数列｛an｝的递推式和初始值（等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式），求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。3.错位相减法：主要用于求形如{nnba}数列前n项的和，其中｛an｝、｛bn｝分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当1q时的情况：qqaSnn1)1(1就是通过错位相减法得到的。4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：2)(1nnaanS就是用倒序相加法推导出来的。5.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。例1.已知数列｛an｝的通项公式是：)12)(1(nnnan，试求｛an｝的前n项和nS。导析：很多学生会试图计算出,84,30,6321aaa以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。把通项展开得：nnnan2332，故可把｛an｝分成三类分别求和。)21()21(3)21(2222333nnnSn利用求和公式可得：2)2()1(2)1(6)12)(1(32)1(222nnnnnnnnnnSn6.裂项法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法实质是将数列中的某些项分解而后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。7.利用数列周期性求和：有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和。关键之处是寻找周期。例2.已知数列且中,212121,2,1,}{nnnnnnnaaaaaaaaa21nnaa199911999,1nnaS则=。（1999年河南省高中数学竞赛）导析：此题中给出的是数列递推式，不难想到｛an｝是周期数列。把2,121aa代入2121nnnnnnaaaaaa(1)，可求出33a；再用n+1去换（1）式中n可得：321nnnaaa321nnnaaa(2)。由（2）-（1）得：0)1)((213nnnnaaaa。121nnaa故nnaa3，周期为3，通过计算可得39971999S二、综合应用例3.设244)(xxxf，那么和式)10013()10012()10011(fff+)10011000(f的值等于：。（1986年全国高中数学联赛）导析：题中的10011，,,100121001999,10011000直接代入)(xf不仅计算量大，而且很难得到正确结果，于是转而寻求这些变量的关系。设x+y=1,则有：1244244244244)()(11xxxxyyxxyfxf，故此题可用倒序相加法。)10011000()10013()10012()10011(ffffS（1）)10011()1001998()1001999()10011000(ffffS（2）由（1）+（2）可得2S=个10001111，∴所求的值为500。值得说明的是：此题不用倒序相加法，而用首尾相加法也可，不过这样必须讨论n是奇数还是偶数，从本题中也可以看到倒序相加法可以避免讨论的优点。例4.对于每个自然数n，抛物线1)12()(22xnxnny与x轴交于nnBA,两点，以||nnBA表示两点间的距离，则||||2211BABA||19921992BA的值是（）（1992年全国高中数学联赛）A．19921991B．19931992C．19931991D．19921993导析：设计此题目的是考察数列的通项知识和数列的裂项求和法。当y=0时可求得：,11,121nxnx111||nnBAnn。故||||2211BABA||19921992BA)1993119921()3121()211(.19931992199311)1993119921()3121()211(需要指出的是：对于形如：))((qnpntan（其中t、p、q是常数），一般用裂项法，把na拆成)11(qnpnpqt形式，使中间的一些项能够消去，从而实现求和的目的。例5.)4(2nn个正数排成n行n列，naaaaa114131211naaaaa224232221naaaaa334333231naaaaa444434241……nnnnnnaaaaa4321其中每一行数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都有相等，已知163,81,1434224aaa，求nnaaaaS332211。（1990年全国高中数学联赛）导析：设第一行数的公差为d,各列的公比为q，则第四行数列公差是dq3,于是，由题设得出方程组：1638181)(1)3(343311421124dqaqdaaqdaa解之得：2111qda因为这n2个数均为正数，故2111qda。而对于任意的nk1有：.21])1([11111kkkkkkkqdkaqaa故nnS21212212①，这类数列求和，我们通常考虑用错位相减法，在①两边同时乘以21可得：132212122121nnS②由①-②得：132212121212121nnnSnnnS22121例6.设数列}{na前n项和),2,1(12naSnn，数列}{nb满足：31b，),2,1(1kbabkkk。求数列}{nb的前n项和。（1996年全国高中数学联赛，第二试第一题）导析：此题nnab依赖于，故应先求出na。由12nnaS①可得：)2(1211naSnn②。由①-②得12nnaa)2(n，当n=1时：12111aSa∴11a。因此}{na是以1为首项，公比为2的等比数列。对于),2,1(1kbabkkk有：31b223bab334bab……11nnnbab将上列等式两端相加，得：22321211111nnnnbSb。所以}{nb的前n项和：1222222112/nnSnnn。值得说明的是：如上式的递推关系求数列通项时一般用累加法，即把n个等式右分别相加。从而消去一些项，以利于求和。三、强化训练1.设n为自然数，且32323212112nnnnnan则531111aaa99999711aa的值是（）（《中等数学》竞赛训练题）A.3B.4C.5D.62.设NnnSn,321。求1)32()(nnSnSnf的最大值。（2000年全国高中数学联赛）3.设nnxa)3(是的展开式中x项的系数（n=1,2,3,…），则：nnnaaa333lim3322。（2000年全国高中数学联赛）4.数列nnnnnnaaaaanaaaa321321,2,1,1,}{有若对自然数中且321nnnaaa1321nnnaaa则该数列的前4321项和4321S=。（2000年上海高中数学竞赛）5.已知abxxfx21)13(log)(31为偶函数，xxbaxg22)(为奇函数，其中Cba,，则200032200032bbbbaaaa=。（2000年河北省高中数学竞赛）6.设正数列,,,,,210naaaa满足12122nnnnnaaaaa)2(n且110aa，求}{na通项公式。（1993年全国高中数学联赛）答案提示：1.5),11(21150011233iinanna；2.501；3.18；4.利用周期性可得：-4321；5.-2；6.利用累加法和递推关系可得：当n=0时10a;当Nn时，nkkna12)12(数列求和在全国高中数学联赛中的应用数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。三、基础知识1.常用的数列求和公式：(1)dnnnaaanSnn2)1(2)(11(2)nS)1(11)1()1111qqqaaqqaqnann（(3))1(211nnknk；)12)(1(6112nnnknk；213)]1(21[nnknk2.累加法：给出数列｛an｝的递推式和初始值（等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式），求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。3.错位相减法：主要用于求形如{nnba}数列前n项的和，其中｛an｝、｛bn｝分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当1q时的情况：qqaSnn1)1(1就是通过错位相减法得到的。4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：2)(1nnaanS就是用倒序相加法推导出来的。5.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。例3.已知数列｛an｝的通项公式是：)12)(1(nnnan，试求｛an｝的前n项和nS。导析：很多学生会试图计算出,84,30,6321aaa以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。把通项展开得：nnnan2332，故可把｛an｝分成三类分别求和。)21()21(3)21(2222333nnnSn利用求和公式可得：2)2()1(2)1(6)12)(1(32)1(222nnnnnnnnnnSn6.裂项法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法实质是将数列中的某些项分解而后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。7.利用数列周期性求和：有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和。关键之处是寻找周期。例4.已知数列且中,212121,2,1,}{nnnnnnnaaaaaaaaa21nnaa199911999,1nnaS则=。（1999年河南省高中数学竞赛）导析：此题中给出的是数列递推式，不难想到｛an｝是周期数列。把2,121aa代入2121nnnnnnaaaaaa(1)，可求出33a；再用n+1去换（1）式中n可得：321nnnaaa321nnnaaa(2)。由（2）-（1）得：0)1)((213nnnnaaaa。121nnaa故nnaa3，周期为3，通过计算可得39971999S四、综合应用例3.设244)(xxxf，那么和式)10013(