全国初中数学竞赛决赛(初三)试题及参考答案

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题：（每题7分，共35分）1.2222302340abcabbccaabcabcabc，设非零实数、、满足：则：的值为，【】11()()0()()1.22ABCD；；；2222222(234)(23)0.1()0().21.().2abcabcabcabcabbccaabcabbccaAabc由已知可得，因此，，则：故，选2.2120abcxaxbxcxx已知、、为实数，关于的二次方程有两个非零实根、，221211xxx则：下列关于的一元二次方程中以、为根的是【】2222222222222222()(2)0()(2)0()(2)0()(2)0.AcxbacxaBcxbacxaCcxbacxaDcxbacxa；；；12121212222121222222222121212222222122222000.11()22111120.(2)0.().xxxbcaxxxxxxcaaxxxxbacaxxxxcxxcbacaxxxxcccxbacxaB由于关于的二次方程有两个非零实根、，则：，且，；且，从而又，因此，以、为实根的一元二次方程为：即，故，选3.RtABCOABCDABABDDEOC如图，在中，为斜边中点，交于点，交.OCEADDBCDODOEDEAC于点若、和的长度为有理数，则：线段、、和的长度中，不一定为有理数的是【】()()()().AODBOECDEDAC；；；221().2...().ADDBCDOAOBOCADDBODOADAODODDCOEDEOCOCACADABACADABD由于、和为有理数，则：为有理数也是有理数又也是有理数；也是有理数而，则：不一定是有理数故，选4.24ABCDACFBC如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段延长线上，4BCCFDCEF且，四边形为平行四边形，则：图中阴影部分面积为【】()3()4()6()8.ABCD；；；12121212121()2()2()424.26.().ADEBDEABCSSSADEBDEDEhhDEABhhABCBCSBChhCFhhDEhhSSC图中阴影部分面积，设、中，底边上的高分别为、；由于，因此，为底边上的高.又因此，阴影部分的面积故，选5.3223333345*1160xyxyxyxyzxyxy对于任意实数、、定义运算“”：；**(*)*2013*2012**3*2xyzxyz且，则：的值为【】6071821546316389()()()().967967967967ABCD；；；323232233320132012433392745201320124339331646039239292455463201320123292.10360967mmmmmmmm设，则：，因此，二、填空题：（每题7分，共35分）6.3233(2)_________.abab设，是的小数部分，则：22333293229(2)9.ababb由于，因此，，因此，7.3FCDDEABCACABBDCEFS如图，、分别是的边、上的点，、交于点，若，45________.FBEFBCSSAEFD，，则：四边形的面积为312.551235.12454586412864204..65565134=FDEFCDFDEFEBFFBCADEACEADEDEBBBCEAEFDAEFAEFBFEBCFAFDAFDSSDESSSxSAESxSxSEBSxSSSSBFSAFSSFDS四边形【方法一】：连接，则：记，则：，即：因此，则：【方法二】：连接，则：5.33510896.41313204.13CDFAFDAFDCDFBCFAEFAFDAEFAEFBEFSSSCFSSSSSFESAEFD，因此，四边形的面积为8.22220380.abcabcabc已知正整数、、满足：，则：__________.abc的最大值为2222222212(1)220380(8)666666.13.(2)1(8)592(8)403(8)9511.351331161.311abcabccbaaaaaaabababbbabcabcabc从，两式中消去可得：又为正整数，则，当时，，没有正整数解；当时，，没有正整数解；当时，，则：，而，当，时，；当，时，因此，的最大值为132013.9.2200abcdxcxdabxaxb实数、、、满足：方程的两根为、；方程()___________.ababcd的两根为、，则满足条件的所有，，，..(1)0(2)012.()(1212)(00).abcabdbdcdacdbbdacbdacbdabcdkk，根据题意可得，由此可得，，当时，；当时，，且因此，满足条件的所有，，，，，，或，，，10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了支圆珠笔．min472013.350201371(5032).144420134()343503204.207141.xyxyxyyyxyyxyyyyyx设小明卖出铅笔与圆珠笔分别为支和支，则：因此，为的倍数.而，因此，；此时三、计算题：（每题20分，共80分）11.23yaxbxExAB如图，抛物线的顶点为，该抛物线与轴的交于，两点，131.3.yCOBOCOAyxyDDBCCBE与轴交于点，且；直线与轴交于点求：221(1)031(03)(01).3(2)3(10)(30).301.23.93302(14).(3)301(4xyaxbxyxCDOBOCOAABabayxxabbEBCxyEBCFEd将分别代入和可得：，、，由于，则：，、，因此，故，抛物线方程为从而可得，，直线的方程为：，过点作直线的垂线，垂足为；则，点到该直线的距离22)32.(.)1(1)225()211..25101045.FCEFBERtBEFRtBECRtBODEFODEFODRtBEFRtBODBEOBBEOBCBEOBDCBDCBECBO实际上，点与点重合即，，而，在和中，有，，故，因此，则：，因此，12.ABCOHBCHO如图，设的外心、垂心分别为、，如果、、、四点共圆，.ABCBAC对所有，求：的所有可能角度HBACDEF图（一）图（二）图（三）(1)180.2.60.(2)901802(180).180120.ABCHABCBHCAOABCBOCABHOCBHCBOCAABCABHCAABOCBOCBHCAABC分三种情况讨论：如果为锐角三角形：由于为的垂心，则：又为的外心，则：由于点、、、共圆，因此，如果为钝角三角形，且，同样有，；但而如果为钝角三角形9090.(.)2.180.60.(3)9090.9090ABHABCABHCOABCBOCABHOCBHCBOCAABCAAHOBCBCOHAABBH，且，不妨设见图三因为的垂心，则：；为的外心，则：又点、、、共圆，则：因此，如果为直角三角形，当时，与重合，点为中点，此时点、、、不可能共圆；故，当时，不妨设，此时点与重合，此时090.120.BCOHAA点、、、一定可以共圆，因此，可以取到之间的任何值综上可得，可以去任何锐角或13.2abcxbcaycabzabcxy设、、为素数，记，，；当，2.zyabc时，试问：、、能否构成一个三角形？并证明你的结论2222111()()().22211(1)()().222123(13.)24(2)16910.3ayzbxzcxyzzzyayzzzzazazzzazzzzzyzxybcz【方法一】：不能构成三角形.由条件可得，，，又，则：由于为整数，为素数；当为偶数时，有因子，则：；当为奇数时，有因子，则：或均不可能当时，，；从而，，与条件矛盾当222317.(0).2.11820.2.18(21).11(1)232abcabczabcycabyzazabcazyzzazabcabczakkkakkaka时，，，；不能构成三角形实际上，总之，、、不能构成三角形【方法二】：由可得，又，则：由于、、为素数，则：为整数故，，为正整数当时，不是素数；由此可得，当时，；23.3.3992251117.224169.2zkaxzzyxxbcxzzyxb由此可得，或当时，不是素数当时，，，，不能构成三角形.当时，，；不是素数14.7MmM如果将正整数放在正整数左侧，所得到的新数可被整除，则，称为1212(8641586415786415)nnmaaaaaanmm的“魔术数”例如，把放在的左侧，得到的数能被整除，所以称为的魔术数．求：正整数的最小值，，，…，，使得存在，…，互不相同的正整数，满足对任意一个正整数，在中都至少有一个为的“魔术数”．(1)103mod(7)206mod(7)302mod(7)405mod(7)501mod(7)604mod(7)700mod(7).7.[]7(06).(2)606(1)[].0(1)iikkkknkainkkain由于，，，，，，这些数被除后所得余数均不相等记：为正整数被除后所得余数为，即余数为的同余类如果，则：一定存在使得每个均不在中不妨令，则在所有后面添加12(17)?”.7|(10)7|(10)7771077(1)7.6127(3)(17|().7.)iiinmaaaaaMijijMiMjjinainnmammMp，，，中的一个数是的共同的魔术数从而有，，，因此，得到矛盾；因此，所得的数一定不能被整除；也就是说，均不是的“魔术数”【或】：如果，分别取，，，，根据“抽屉原理”又当时，对任意一个正整数，设其为位数10(17)7.177|[(10)(10)]7|10().7|().16.7|(10).7.ppppmMmmijjMiMjijijiammMn，则：被除后所得余数两两互异否则，存在使得，，从而因此，有但，这是不可能的因此，一定存在正整数使得，的最小值为