搜索
四川省内江市资中县2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．计算的结果是（）A．3B．﹣3C．±3D．【分析】直接根据＝|a|化简即可．解：＝|3|＝3．故选：A．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．2．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．3﹣πB．aC．a2+1D．2x+4【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．3．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．解：∵△＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．4．计算的结果为（）A．4B．3C．2D．16【分析】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意．解：．故选C．【点评】考查二次根式的加减运算，注意只有被开方数相同的二次根式才能合并．5．在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（）A．0.2kmB．2kmC．20kmD．200km【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．解：设这条道路的实际长度为x，则：＝，解得x＝200000cm＝2km．∴这条道路的实际长度为2km．故选：B．【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．6．若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则矩形的对角线长度为（）A．5B．7C．8D．10【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b＝7，ab＝12，利用勾股定理得到矩形的对角线长＝，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5．解：设矩形的长和宽分别为a、b，则a+b＝7，ab＝12，所以矩形的对角线长＝＝＝＝5，故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了矩形的性质．7．如果x2+ax+1是一个完全平方式，那么a的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．±1【分析】完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2，根据以上内容得出ax＝±2x，求出即可．解：∵x2+ax+1是一个完全平方式，∴ax＝±2•x•1，解得：a＝±2，故选：C．【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，能根据题意得出ax＝±2•x•1是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．8．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．1B．C．D．【分析】把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，解得c＝1；故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．9．已知，则的值为（）A．1B．C．D．【分析】根据，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得，a＝3，b＝2，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．10．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x＝32B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．10×6﹣4x2＝32【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝o（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（）A．b＝cB．a＝bC．a＝cD．a＝b＝c【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝﹣1，再判断即可．把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得出a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．12．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax＝b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．（5分）若＝，则＝．【分析】设a＝2x，则b＝9x，代入代数式即可求解．解：设a＝2x，则b＝9x，故原式＝＝．故答案是：＝．【点评】本题考查了比例的性质，正确进行设未知数是关键．14．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△＝0，此题难度不大．15．（5分）若，则x2+2x+1＝2．【分析】首先把所求的式子化成＝（x+1）2的形式，然后代入求值．解：原式＝（x+1）2，当x＝﹣1时，原式＝（）2＝2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求式子进行变形是关键．16．（5分）对于任意实数a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0的两根记为m、n，则m2+n2＝6．【分析】根据新定义可得出m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣2、mn＝﹣1，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中即可得出结论．解：∵（x◆2）﹣5＝x2+2x+4﹣5，∴m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（9分）计算下列各题：（1）÷×；（2）（﹣1）2+；（3）（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）利用完全平方公式计算；（3）根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义和零指数幂的意义运算；解：（1）原式＝＝3；（2）原式＝3﹣2+1+2＝4；（3）原式＝+﹣1+1＝3+＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（9分）用指定的方法解下列一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0（公式法）；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（因式分解法）；（3）2x2﹣4x+1＝0（配方法）【分析】（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；（3）利用配方法解方程即可求解．解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝4+8＝12＞0，则x＝＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，则（2﹣3x）（x﹣3）＝0，∴2﹣3x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝，x2＝3；（3）∵2x2﹣4x+1＝0，∴2x2﹣4x＝﹣1，∴x2﹣2x＝﹣，则x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，则x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题分别考查了一元二次方程的几种解法，解题的关键是根据不同方程的形式选择最佳方法解决问题．19．（8分）已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？【分析】（1）根据a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，即可求得a：b的值；（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得＝，再根据c＝12dm＝120cm，即可得出线段d的长；（3）根据b2＝3600，ac＝30×120＝3600，可得b2＝ac，进而得出b是a和c的比例中项．解：（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，∴a：b＝30：60＝1：2；（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴＝，∵c＝12dm＝120cm，∴＝，∴d＝240cm；（3）是，理由：∵b2＝3600，ac＝30×120＝3600，∴b2＝ac，∴b是a和c的比例中项．【点评】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．20．（9分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答