全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案

（第4题图）ABCNM（第2题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1.从长度是2cm，2cm，4cm，4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（）A．41B．31C．21D．12．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长为（）A．38B．39C．40D.413．已知1xy，且有09201152xx，05201192yy，则yx的值等于（）A．95B．59C．52011D．920114．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（）A．6B.7C．8D．95．设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数2)2(2bacxxbay在1x时取最小值b58，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据e，d，c，取出数据的顺序是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A．5种B．6种C．10种D．12种baedc（1）（2）（第5题图）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122xx，则满足该方程的所有根之和为.8．（人教版考生做）如图A，在ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为．8．（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FGAF．9．已知012aa，且3222322324axaaxaa，则x．10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有件．11．如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成o45，∠A=o60，CD=4m，BC=)2264(m，则电线杆AB的长为m．12．实数x与y，使得yx，yx，xy，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(yx为．三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分）13.（本题满分20分）已知：))(())(())((axcxcxbxbxax是完全平方式．求证：cba．(第11题图)ABCD（第8题图A）BCDAEGFECBA（第8题图B）D14.（本题满分20分）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒１个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0t6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的31？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．OABCPNMxyOABCxy（备用图）(第14题图)15.（本题满分20分）对于给定的抛物线baxxy2，使实数p，q适合于)(2qbap.（1）证明：抛物线qpxxy2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02baxx与02qpxx中至少有一个方程有实数根.2013年九年级试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1—6CDBADC二、填空题（每小题5分，共30分）：7.62；8.A：516；B：12；9.4；10.12；11.26；12.)1,21()1,21(.三、解答题：（每题20分，共60分）13.证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必须且只需：000accbba解这个方程组，得cba.14.解：（1）（6，4）；（2,3tt）.（其中写对B点得1分）···………………………………3分（2）∵S△OMP=12×OM×23t，∴S=12×（6-t）×23t=213t+2t＝21(3)33t（0t6）．∴当3t时，S有最大值．…………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：43yx．设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：3byxb，解方程组433yxbyxb得3444bxbbyb∴直线ON与MT的交点R的坐标为34(,)44bbbb．∵S△OCN＝12×4×3＝6，∴S△ORT＝13S△OCN＝2．···················…………………10分一、当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，二、如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝12••••RD1•OT＝12•34bb•b＝2.∴234160bb，b=22133.∴b1＝22133，b2＝22133（不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，22133）.········……………………………………………15分②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，∵点E的纵坐标为4，∴由①得点E的横坐标为312bb，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则S△R2NE＝12•EN•D2=12•312(3)bb•4(4)4bb96(4)bb＝2.∴24480bb，b=41644821322.∴b1＝2132，b2＝2132（不合题意，舍去）．∴此时点T2的坐标为（0，2132）．综上所述，在y轴上存在点T1（0，22133），T2（0，2132）符合条件．…20分15.证明：（1）∵)(2qbap∴bapq2代入抛物线qpxxy2中，得0)2(2axpbxy得0202axbxy解得：4422bayax，故抛物线qpxxy2通过定点)44,2(2baa……………………10分（2）∵bapq22，∴)2(2224222bappqpqp=bapp422=baaapp42222=)4()(22baap∴0)()4()4(222apbaqp∴qp42与ba42中至少有一个非负.∴02baxx与02qpxx中至少有一个方程有实数根.…………20分OABCxy（备用图）NMPR2T1T2R1ED2D1