初中数学九年级数学竞赛试题及答案

九年级数学竟赛试卷题目一二三四五六总分分数一、填空（每小题3分，共30分）1、已知m是方程210xx的一个根，则代数式2mm2、一名同学在掷骰子，连续抛了9次都没有点数为6的面朝上，当他掷第10次时，点数为6的面朝上是事件。3、已知231,3,abab则(1)(1)ab4、如图，⊙O是ABC的外接圆，030C，2ABcm，则⊙O的半径为cm。5、已知1x是关于x的方程2220xaxa的一个根，则a_______．6、如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为_______cm。7、如图，将一块斜边长为12cm，60B°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至ABC△的位置，再沿CB向右平移，使点B刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm．8、如图，A是第一象限里的点，点B是点A关于原点的对称点，点C是点A关于x轴的对称点，则以点A，B，C为顶点的三角形是三角形。9、如图是44正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．10、已知：关于x的一元二次方程221()04xRrxd没有实数根，其中R、r分别为⊙O1和⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1和⊙O2的位置关系为。二、选择题（每小题3分，共18分）11、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD12、如图所示，电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（）．A、32B、21C、31D、4113、已知：mn，是两个连续自然数()mn，且qmn．设pqnqm，则p（）Ａ．总是奇数Ｂ．总是偶数Ｃ．有时是奇数，有时是偶数Ｄ．有时是有理数，有时是无理数14、如图，⊙O内切于ABC，切点分别为D，E，F，已知050B，060C，连接OE、OF、DE、DF，那么EDF等于（）A、055B、040C、065D、07015、为执行“一免一补”政策，我市2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）Ａ．225003600xＢ．22500(1)3600xＣ．22500(1%)3600xＤ．22500(1)2500(1)3600xx16、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）Ａ．2cmＢ．3cmＣ．23cmＤ．25cm学校班级：姓名：座号：Q………………………………………密……………………………………封……………………………………线……………………………………ＯＡＢABA()CCBABC三、解答题（第17题6分，18、19题7分共20分）17、计算：127122(2)2318、如图，ABC中，RtACB，2,8BCAB，求斜边AB上的高CD．19、小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏．她们用四种字母做成10只棋子，其中A棋1只，B棋2只，C棋3只，D棋4只．“字母棋”的游戏规则为：①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；③相同棋子不分胜负．(1)若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少?(2)已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少?(3)已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大?四、每小题8分，共16分。20、如图，已知ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点。（1）请你借助旋转知识说明AMBMCM；（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由。21、如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，0120ACD，BD=5。（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径。五、第22题8分，第23题9分共17分22、某超市销售一批羽绒服，平均每天可售20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，如果超市要保证平均每天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？23、已知x1，x2是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．（1）求x1，x2的值；（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．六、第24题9分，第25题10分共19分24、已知：如图①，∠ACD=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F。（1）当BC=233时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图②，点B在CG上向点C运动，直线FD与AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长。25、在图1—5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究（1）正方形FGCH的面积是；（用含a，b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2、图3、图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．附参考答案：一、1、1；2、随机；3、3；4、2；5、1或－2；6、53；7、3268、等腰直角三角形；9、如图所示：10、外离（注：写“相离”者不给分）二、11、D;12、C;13、D;14、A;15、B;16、C;三、17：解：原式＝2＋1－（49）…………3分＝3－1…………5分＝2…………6分18、解：AC＝62822BCAB…………2分∵S△ABC＝21AC·BC=21CD·AB…………3分∴CD=26826ABBCAC…………7分19、（2007苏州中考题）解：(1)小玲摸到C棋的概率等于310；…………1分(2)小玲在这一轮中胜小军的概率是49．…………3分(3)①若小玲摸到A棋，小玲胜小军的概率是59；②若小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率是79；③若小玲摸到C棋，小玲胜小军的概率是49；④若小玲摸到D棋，小玲胜小军的概率是19．由此可见，小玲希望摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．…………7分。20、（数学理报2007下期末专号）（1）将△BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A。…………1图3FABCDE图4FABCDE图2FABC(E)D（2b＝a）（a＜2b＜2a）（b＝a）F图1ABCEDHG（2b＜a）F图5ABCED（b＞a）分∵∠MBM′=600、BM=BM′、AM′＝MC；∴△BMM′为正三角形；∴MM′=BM。……2分①若M′在AM上，则AM=AM′+MM′=BM+MC……………………3分②若M′不在AM上，连结AM′、MM′，在△AMM′中，根据三角形三边关系可知：AM＜AM′+MM′，∴AM＜BM+MC。………………5分（2）线段AM有最大值。…………6分当且仅当M′在AM上时，AM＝BM+MC；存在的条件是：∠ABM=600。…………8分21、（1）连结OC，………………1分∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=900,………………2分∴∠OCA=∠ACD-∠OCD=1200-900=300;∴∠OAC=∠OCA=300……3分又∠ADC=1800-∠ACD-∠OAC=1800-1200-300=300=∠OAC…………4分∴CA=CD.………………5分（2）∵∠ADC=300∴OC=21OD=OB………………6分∴B是OD的中点，∴OB＝5，即⊙O的半径为5。………………8分22、解：设每件羽绒服应降价x元，依题意得：(40－x)(20+2x)=1200…………3分整理得：x2-30x+200=0…………5分解得：x1=10;x2=20;…………7分为了使顾客多得实惠，所以要尽量多降价，故x取20元。答：每件羽绒服应降价20元。…………8分23（2007年四川绵阳中考题）、解（1）原方程变为：x2－（m+2）x+2m=p2－（m+2）p+2m，∴x2－p2－（m+2）x+（m+2）p=0，…………2分（x－p）（x+p）－（m+2）（x－p）=0，…………3分即（x－p）（x+p－m－2）=0，∴x1=p，x2=m+2－p．…………4分（2）∵直角三角形的面积为)2(212121pmpxx=pmp)2(21212………5分=)]4)2(()22()2([21222mmpmp=8)2()22(2122mmp，…………7分∴当22mp且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为8)2(2m或221p．…………9分。24、证明：如图①，作以AB为直径的⊙O∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°.∵O为AB的中点，连接DO,∴OD=OB=AB,∴点D在⊙O上.在Rt△ACB中，BC=，AC=2,∴AB==,∴∠CAB=∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ABD=60°,∴△BOD是等边三角形,∴∠BOD=60°,∴∠ABC=∠BOD,∴FC∥DO.∴DF⊥CG,∴∠ODF=∠BFD=90°.∴OD⊥FD,∴FD为⊙O的切线.(2)如图②,延长AD交CG于点E.同(1)中的方法,可证点C在⊙O上.∴四边形ADBC是圆内接四边形,∴∠FBD=∠1+∠2,同理∠FBD=∠2+∠3.∵∠1=∠2=∠3,∴∠FBD=∠FDB.又∠DFB=90°,∴∠FBD=∠CAD=45°.∵∠ACE=90°,∴EC=BC=x,又∠EDB=90°,∴EB=x,∵EB+BC=EC,∴x+x=2.解得x=2-2,∴BC=2-2.25、（2007年河北省中考题）实践探究（1）a2+b2；…………………………………………………………2分（2）剪拼方法如图3—图5．（每图2分）………………………8分FA(E)DHGFADEFAEHDGFAEDGH联想拓展能；……………………………………………………………………9分剪拼方法如图6（图中BG=DH=b）．………………………………10分（注：图6用其它剪拼方法能拼接成面积为a2+b2的正方形均给分）