高中数学竞赛讲座---数学归纳法

数学归纳法基础知识数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．1．数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果①当0nn（Nn0）时，)(nP成立；②假设),(0Nknkkn成立，由此推得1kn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数0nn时，)(nP成立．（2）第二数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果①当0nn（Nn0）时，)(nP成立；②假设),(0Nknkkn成立，由此推得1kn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数0nn时，)(nP成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当ln,,3,2,1时，)(,),3(),2(),1(lPPPP成立，②假设kn时)(kP成立，由此推得lkn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数1n时，)(nP成立．（2）反向数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果①)(nP对无限多个正整数n成立；②假设kn时，命题)(kP成立，则当1kn时命题)1(kP也成立，那么根据①②对一切正整数1n时，)(nP成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对0n也成立，而且验证起来比验证1n时容易，因此用验证0n成立代替验证1n，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．（2）起点增多：有些命题在由kn向1kn跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设kn时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．5．归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．例题分析例1．用数学归纳法证明：313)2311()711)(411)(11(nn（1,*nNn）例2．已知对任意*Nn，1n，0na且22133231)(nnaaaaaa，求证：nan．例3．如果正整数n不是6的倍数，则11986n不是7的倍数．例4．设naaa,,,21都是正数，证明nnnaaanaaa2121．例5．已知函数)(xf的定义域为],[ba，对于区间],[ba内的任意两数dc,均有)]()([21)2(dfcfdcf．求证：对于任意],[,,,21baxxxn，均有)]()()([1)(2121nnxfxfxfnnxxxf．例6试证：对一切大于等于1的自然数n都有2sin2212sincos2coscos21nn．例7试证：对一切自然数n（1n）都有222nn．例8．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形．例9．设10a，aa11，aaann11，求证：对一切Nn均有1na例10．已知121aa，nnnnaaa1212)1(，求证：对一切Nn，na都是整数．例11．设nnf131211)(，是否存在关于正整数n的函数)(ng使等式]1)()[()1()2()1(nfngnfff对于2n的一切自然数都成立？并证明你的结论．例12．设整数数列}{na满足11a，122a，203a，且nnnnaaaa12322．证明：任意正整数n，141nnaa是一个整数的平方．例13．设nxxx,,,21为正数（2n），证明：1212212121432222322121nxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnn．例14．已知11a，211nnnaaa（1,*nNn），求证：309000a．例15．整数列}{na（1,*nNn）满足7,221aa，且有221121nnnaaa．求证：2n时，na是奇数．训练题1．证明Nn时，153222221n能被31整除．2．设n不小于6的自然数，证明：可以将一个正三角形分成n个较小的正三角形．3．用数学归纳法证明：221412111n4．设n为自然数，求证：2131211222n．5．对于自然数n（3n），求证：nnnn)1(1．6．已知121aa，nnnnaaa1212)1(，求证：对于一切*Nn，na是整数．7．设有n2个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲戴盆望天的球数p不小于乙堆的球数q，则从甲堆拿q个球放堆乙堆，这样算是挪动一次．证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆．8．已知数列}{na满足：31a，82a，202453)(4221nnaaannn（3n），试证：nnna22．