第18届希望杯全国数学竞赛初一决赛试题与答案

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试2007年4月15日上午8：30至10：30一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。1、假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未拧紧，4小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字）（A）1440毫升。（B）31.410毫升。（C）40.1410毫升。（D）21410毫升。2、如图1，直线L与∠O的两边分别交于点A、B，则图中以O、A、B为端点的射线的条数总和是（）。（A）5．（B）6.（C）7.(D)8.3、整数a,b满足：ab≠O且a+b＝O，有以下判断：○1a,b之间没有正分数；○2a,b之间没有负分数；○3a,b之间至多有一个整数；○4a,b之间至少有一个整数。其中，正确判断的个数为（）（A）1．（B）2.(C)3.(D)4.4、方程13153520052007xxxx的解是x＝（）（A）2006,2007（B）2007,2006(C)2007,1003(D)100320075、如图2，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（）。（A）1.(B)3.(C)6.(D)9.图1LOBA图26、在9个数：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3中，能使不等式－32x＜－14成立的数的个数是（）（A）2.(B)3.(C)4.(D)5.7、韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图3（a）放置，然后又如图3（b）放置，则图3（b）中四个底面正方形中的点数之和为（）（A）11.(B)13.(C)14.(D)16.图38、对于彼此互质的三个正整数,,abc，有以下判断：①,,abc均为奇数②,,abc中必有一个偶数③,,abc没有公因数④,,abc必有公因数其中，不正确的判断的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）49、将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体。如果长方体底面的周长为18厘米，那么这个长方体的高是（）（A）2厘米（B）3厘米（C）6厘米（D）7厘米10、If0cba,then()(A)babbacacca(B)acaacbcbbc(C)babbacacca(D)acaacbcbbc二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、若有理数,,mnp满足||||||1mnpmnp，则2|3|mnpmnp12、今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么几天以后的第4200715天是星期13、孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰周年。（注：不存在公元0年）14、InFig。4，ABCDisarectangle.，Theareaoftheshadedrectangleis图48865HGFEDCBA15、下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表：分数40------5960-------7071-------8586------100人数5191214这个班数学成绩的平均分不低于分，不高于分。（精确到0.1）16、已知7641808xyz，其中,,xyz代表非0数字，那么222xyz17、某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均5吨，由于6，7，8月天热，每户每月多用水1吨，为了不超过全年用水定额，则全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均吨之内。如果每户每天节约用水2千克，则全市一年（按365天计）节约的水量约占全年用水定额的%（保留三位有效数字）18、,,abc都是质数，且满足99abcabc，则111111||||||abbcca19、一项机械加工作业，用4台A型车床，5天可以完成：用4台A型车床和2台B型车床，3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成。若A型、B型和C型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A型车床继续工作，则再用天就可以完成这项作业20、设01,1aab，则111,,aabab和221ab四个式子中，值最大的是值最小的是三、解答题（本大题共3小题，共40分）要求：写出推算过程。21、（本题满分10分）小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L，他发现：这2007个点中的每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请你说明：这2007个点中至少有1个点在直线L上。22、（本题满分15分）小明和哥哥在环形跑道上练习长跑。他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？（2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？23、（本题满分15分）满足1＋3n≤2007，且使得1＋5n是完全平方数的正整数n共有多少个？答案：一、选择题（每小题4分。）题号12345678910答案BDACCCDCBD二、填空题（每小题4分；两个空的小题，每个空2分。）题号11121314151617181920答案23三25571867；9；80；998243；1.221719211;aab三．解答题21．假设这2007个点都不在直线L上，由于其中每个点iA（i＝1，2，……，2007）关于直线L的对称点'iA仍在这2007个点中，所以'iA不在直线L上。也就是说，不在直线L上点iA（i＝1，2，……，2007）与iA关于直线L对称的点'iA成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾！因此，“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有1个点在直线L上。22．设哥哥的速度是1V米/秒，小明的速度是2V米/秒。环形跑道长s米。（1）由“经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了20圈”，知经过2520分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了1圈。所以121225()25()6020VVVV整理，得，2110050vv所以，122VV.(2)根据题意，得121225256020SVVSVV即1212125175VVSSVVSS解得，2175VS故经过了25分钟小明跑了22560256020()75VS圈（2）另解由122VV，知小明每跑1圈，哥哥就比小明多跑1圈，所以当哥哥比小明多跑20圈时，小明也跑了20圈。23．由条件1＋3n≤2007得n≤668,n是正整数。设1＋5n＝2m（m是正整数），则215mn，这是正整数。故可设m＋1＝5k，或m-1=5k（k是正整数）○1当m+1=5k是，22215256685mkkk，由25668k，得，k≤11当k=12时，252696kk＞668。所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；○2当m－1＝5k时，221525mnkk，又252kk＜252kk，且当k＝11时252627kk＜668，所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数。因此，满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个。